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1、2004年数学（四）试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =_，b =_.(2) 设，则.(3) 设，则.(4) 设，其中为三阶可逆矩阵,则_(5) 设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解是_(6) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 _二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 设f (x)在(- , +)
2、内有定义，且，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. (9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f
3、 (x)的拐点. (10) 设，则(A) F(x)在x = 0点不连续.(B) F(x)在(- , +)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F(x)在(- , +)内可导，且满足.(D) F(x)在(- , +)内可导，但不一定满足. (11) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得 f (a).(B) 至少存在一点，使得 f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0. (12) 设阶矩阵与等价, 则必须(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . (13) 设随机变量服从正态分布, 对给定的,
4、数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . (14) 设随机变量独立同分布，且方差令随机变量， 则(A) (B) (C) (D) 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (u , v)具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性( 0)；(I
5、I) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设，S表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积. 对任何t 0，表示矩形-t x t，0 y F(t)的面积. 求(I) S(t) = S -的表达式；(II) S(t)的最小值.(20) (本题满分13分)设线性方程组已知是该方程组的一个解，试求() 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；() 该方程组满足的全部解(21) (本题满分13分) 设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值若, , , 都是的属于特征值6的特征向量() 求的另一特征值和对应的特征向量；() 求矩阵 (22) (本题满分13分)设,为两个随机事件,且, , , 令 求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求() 随机变量和的联合概率密度；() 的概率密度； () 概率4
