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1、巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常 巴拿赫空间用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从外尔斯特拉斯K.(T.W.)以来人们久已十分关心闭区间ab 上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末G.阿斯科利就得到ab 上一族连续函数之列紧性的判断准则后
2、来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。 巴拿赫空间1909年里斯F.(F.)给出 01上连续线性泛函的表达式这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间那就是由所有在01上 次可勒贝格求和的函数构成的 空间(1<p < )。在19101917年人们研究它的种种初等性质其上连续线性泛函的表示则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间并且引进全连 巴拿赫空间续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的生动的素材巴拿赫S.与维纳N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着
3、多方面应用的理论。编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。 巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩-巴拿赫延拓定理，巴拿赫-斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。编辑本段无穷空间巴拿赫空间是一种赋有长度的线性空间，大多数都是无穷空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。同时也是泛函分析研究的基本对象之一。 巴拿赫空间里斯。F在1909年就给出了0，1上连续线性泛函的表达式。所
4、以，连续线性泛函的表示是巴拿赫空间的一种初等性质。编辑本段正文一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从K.（T.W.）外尔斯特拉斯以来,人们久已十分关心闭区间【,b】上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到【，b】上一族连续 巴拿赫空间函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年F.（F.）里斯给出C【0,1】上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在【0,1】上p次可勒贝格求和的函数构成的Lp空
5、间(1p)。在19101917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，S.巴拿赫与N.维纳相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。 定义 对于实(或复)数域K编辑本段定义空间X，若有从X到R的函数x使得：x0,x=0必须且只须x=0,对 K,有x=x,x+yx+y,则称X为线性赋范空间,而称x为范数。 显然，范数这概念是Rn中向量长度概念的
6、推广。如同有理数系可完备化为实数系，任何线性赋范空间也可按照距离d(x,y)=x-y作为度量空间而完备化。 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。例如,设为紧豪斯多夫空间，令C()表示上一切实(或复)值连续函数的全体,则C()关于范数成为一个巴拿赫空间。再如,设(,)是正测度空间，令Lp(，)表示 巴拿赫空间上一切p（p1）次可求和函数的全体,则Lp(,)关于范数成为一个巴拿赫空间。特别取=1,2,3,(n)1(当n1、2、3、)则相应的Lp(,)成为满足条件的数列的全体，而相应的范数为。一般记这个特殊的Lp（,）为lp。还如，设(,，)是正测度空间,对上可测的函数(t),如果有正数，使于几乎处处
7、有(t)，则称 (t)为本性有界的函数，而记上述诸之下确界为。令L()表示上之本性有界函数的全体,则L()关于范数成为一个巴拿赫空间。特别对=1,2,3,而(n)=1(n=1,2,3,)则相应的L()即有界数列的全体，而相应的范数为。一般记这个特殊的L()为m。 若,则称强收敛于x,简写作。 基 作为完全就范直交函数系的推广,设是巴拿赫空间X中的序列,如果对 巴拿赫空间每个x X 都恰有一数列，使，则称为X 的基,而称X为有基的空间。凡有基的空间一定是可分的,对于许多可分空间，人们具体地构造出它们的基。但是，是否每个可分的巴拿赫空间都有基的问题，直到1973年才由P.恩夫洛举出反例。确有可分而
8、没有基的巴拿赫空间。 对偶空间 设 (x)是从实(编辑本段对偶空间上赋范线性空间X 巴拿赫空间到上的线性函数。若(x)还是连续的,则称(x)为连续线性泛函。一切如此的(x)按范数构成的巴拿赫空间,便称为X的对偶空间(或共轭空间)并记作X*（或X）。 在许多数学分支中都会遇到对偶空间，例如矩量问题、偏微分方程理论等。一些物理系统的状态也常与适当空间上的线性泛函联系在一起。至于泛函分析本身,对偶空间也是极为重要的概念。通过X*,能更好地理解X。 里斯表现定理 设是紧豪斯多夫编辑本段里斯表现定理的C()上的连续线性泛函(x)，便恰有上的一个复正则波莱尔测度使 (1)并且=在上的全变差 |。许多人把这
9、结果称作里斯表现定理。它是发展近代算子谱论的重要工具，还有着其他多方面的应 巴拿赫空间用。这定理也可推广至局部紧豪斯多夫空间。许多测度来源于此定理。 设上所有复的正则波莱尔测度为m()，对每个m()，由(1)式定义的(x)是C()上的连续线性泛函，定义全变差|,则C()*保范同构于m()。 例如,于正测度,有Lp(,)(1p)上每个连续线性泛函(x)皆可表为 (2)式中z(t)Lq(,),而,并且。另一方面,由(2)式右端定义的泛函在【Lp(,)】*中,总之【Lp(,)】*保范同构于Lq(,)。 再如，于-有限的正测度,有L1(，)上的连续线性泛函(x)可表为 (3)式中z(t)L(,),并且
10、另一方面,由(3)定义的泛函在 【L1()】*中。总之,【L1(,)】*保范同构于L(,)。 由于古典 巴拿赫空间分析发展的要求，也因为巴拿赫空间理论本身的需要,于是人们研究X与X*之间的关系，这便是对偶理论。这理论的主要工具是哈恩巴拿赫扩张定理:设M是线性赋范空间X的闭线性子空间,则对M上的连续线性泛函g(x),恒有(x)X*使(x)=g(x),当xM,又=g();对X中任给的x00，恒有 (x)X* 使 (x0)=x0,=1，对任意，恒有(x)X*当xM使得(x)=0，(x0)=1,并且=1/d，这里。 设(x)X*,一般称点集H=xX;(x)常数C为X中的闭超平面。设M是X的子空间,x0
11、X,则称点集x0+M为X中的线性簇。这样,哈恩巴拿赫定理便有如下的几何解释：若X中的线性簇m与非空的开凸集K不相交,则有闭超平面H使而。 自反空间 对巴拿赫空间 X有对编辑本段自反空间*，而X*的对偶空间则记作X*,任给x0X,通过（当x*X*）便确定一个，并且。这表明存在映射把X保范地嵌入到X*中。一般X*。如果(X)X*，则称X为自反空间。典型的自反空间是Lp【0,1】(1p0，n=1，2,构成X 在O点的一个弱邻域基。 X*上使得一切,xX都连续的最弱的拓扑称为X*上的弱*拓扑。全体 ,其中,0，n=1，2，构成X *在O点的一个弱*邻域基。 线性算子 设T是从实（或复）域编辑本段线性算
12、子性空间X中线性流形M到F上的线性空间Y的映射，如果 则称T是线性算子,M为T的定义域,记作D(T)。特别当M=X 而Y为数域F 时，T 便称为X上的线性泛函。 设X、Y都是赋范线性空间,x0D(T)，若对D(T)中任何收敛于x0的序列都有 Tx 巴拿赫空间nTx0，则称T 在x0处连续。设D(T)=X, 则线性算子T 在X 上每点都连续必须且只须T是有界的, 即。这时还称为T的范数，记作T。 设X与Y都是数域F上的线性空间,A与B都是从X到Y的线性算子，对A与B可定义如下的运算:(A+B)x=Ax+Bx，(A)x=(Ax),当xX,F又定义(AB)x=A(Bx),xX，当 A与B都是从X到X
13、的线性算子时。若线性算子T是单射的,则将它的逆映射记作T-1，而Ix=x则称为单位算子或恒等算子。 设H为度量空间，对 x0 E, 若有小球，则称x0在E的内部。若点集S的闭包埅之内部是空的,则称S在H中无处稠密。若度量空间H中的点集，而每个Sn皆在H中无处稠密，则称E为H中第一纲的点集。H中非第一纲的点集叫做第二纲的。显然全体有理数在实轴上便是第一纲的。可以这样想：第一纲的点集是比较稀疏的。 贝尔纲定理 完备的度量空间必定是第二纲的。这是区间套定理的发展和提高，在证明许多存在定理时是很有用处的。在勒贝格关于奇异积分与O.特普利茨关于正则求和法以及哈恩关于插值理论等方面的研究之后，巴拿赫与H.斯坦豪斯在1927年给出共鸣定理。 共鸣 巴拿赫空间定理 又称一致有界原理。设X是巴拿赫空间，Y是线性赋范空间,是一族从X到Y的有界线性算子。如果当xX，则。这是有着多方面应用的重要定理，是纲定理的直接推论。和纲推理密切相关，还有极著名的开映射定理。 开映射定理 设X与Y都是巴拿赫空间,若T是从X到Y的有界线性算子，且TX=Y,则T变X的开集为Y中的开集。这在有限维空间是平凡的，但在无限维空间却是极为深刻有力的工具。它有下列重要推论。 巴拿赫逆算子定理设X与Y都是巴拿赫空间,若T是从X到Y的有界线性算子
