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1、 第八章 重积分 本章和下一章是多元函数积分学的内容在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、性质、计算以及它们的一些应用第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1曲顶柱体的体积设有一个立体，它的底是面上的闭区域（为简便起见，本章以后除特别说明外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积），它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，这里且在上连续（图81），这
2、种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积.我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积=底面积高来定义和计算关于曲顶柱体，当点在区域上变动时，高度是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题就不难想到，那里所采用的解决方法，原则上可以用来解决目前的问题首先，用一组曲线网把分成个小闭区域分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为个细曲顶柱体当这些小闭区域的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于连续，对同一个小闭区域来说，变化很小，这时细曲顶柱体可近似地看作平
3、顶柱体我们在每个（这小闭区域的面积也记作）中任取一点，以为高而底为的平顶柱体（图82）的体积为这个平顶柱体体积之和可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值令个小闭区域的直径中的最大值（记作）趋于零，取上述和的极限，所得的极限便自然地定义为所讨论曲顶柱体的体积，即2. 平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的闭区域，它在点处的面密度为，这里且在上连续现在要计算该薄片的质量.我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量可以用公式质量=面密度面积来计算现在面密度是变量，薄片的质量就不能直图8-3接用上式来计算但是前面用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全适用于本问题由于连续，把薄片分成许多小块后，只
4、要小块所占的小闭区域的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片在上任取一点，则可看作第个小块的质量的近似值（图83）通过求和、取极限得出上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限因此，我们有必要研究这种和的极限的一般形式，抽象出下述二重积分的定义设是有界闭区域上的有界函数将闭区域任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，也表示它的面积在每个上任取一点，作乘积，并 作 和 如果当每个小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在， 则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作，即 (1)其中
5、叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计） ，其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域的边长为和，则，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素记作，而把二重积分记作其中叫做直角坐标系中的面积元素这里我们要指出，当在闭区域上连续时，（1）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数在上的二重积分必定存在如无特别说明，本章总是假定函数在闭区域上连续，所以在上的
6、二重积分都是存在的由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数在闭区域上的二重积分平面薄片的质量是它的面密度在薄片所占闭区域上的二重积分一般地，如果，被积函数可解释为曲顶柱体的顶在点处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积如果是负的，曲顶柱体就在面的下方，二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积，但二重积分的值是负的如果在的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，在上的二重积分就等于面上的曲顶柱体体积减去面下方的曲顶柱体体积所得之差二、二重积分的性质比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，现叙述如下：性质1设为常数，则性质2如果闭区域被有限条分段
7、光滑曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和例如分为两个闭区域与， 则该性质表示二重积分对于积分区域具有可加性性质3如果在上，为的面积，则该性质表明被积函数为的二重积分在数值上就等于积分区域的面积性质4如果在上，则有特殊地，由于又有性质5设分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有上述不等式是对于二重积分估值的不等式因为，所以由性质4有再应用性质1和性质3，便得此估值不等式性质6（二重积分的中值定理）设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得证显然把性质5中不等式除以，得这就是说，确定的数值介于函数的最大值与最小值之间根据闭区域上连续函
8、数的介值定理，在上至少存在一点使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即所以例1设是圆环域：，证明证在上，的最小值，最大值而的面积由性质得 习 题 8-1 1设有一个面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布有面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷2. 设其中；又其中试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系3. 利用二重积分定义证明：（1） ；（2） ；（3） 其中，为两个无公共内点的闭区域.4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1） 与，其中积分区域是由轴、轴与直线所围成；（2） 与，其中积分区域是由圆周所围成；（3） 与，其中是三角形闭区域，三个顶点
9、分别为；（4） 与，其中.5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) 其中；(2) 其中；(3) 其中；(4) 其中.第二节 二重积分的计算方法按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，这种方法不是最优方法，有时甚至行不通为此，本节介绍一种将二重积分化为二次积分（即二次定积分）的计算方法一、利用直角坐标计算二重积分下面用几何观点来讨论二重积分的计算问题在讨论中假定设积分区域可以用不等式来表示（图84），其中，函数在区间上连续按照二重积分的几何意义，的值等于以为底，以曲面为顶的曲顶柱体（图85）的体积下面我们应用第五章中计算
10、“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积先计算截面面积为此，在区间上任意取定一点，作平行于面的平面这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间为底、曲线为曲边的曲边梯形（图8-5中阴影部分），所以这截面的面积为一般地，过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为再计算曲顶柱体的体积应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式 （）上式右端的积分叫做先对、后对的二次积分，就是说，先把看作常数，把只看作的函数，并对计算从到的定积分；然后把算得的结果(是的函数)再对计算在区间上的定积分，这个先对、后对的二次积分
11、也常记作因此，等式(1)也写成 （）这就是把二重积分化为先对、后对的二次积分的公式.在上述讨论中，我们假定，但实际上公式(1)的成立并不受此条件限制.类似地，如果积分区域可以用不等式来表示(图86)，其中函数，在区间上连续，则有 （）上式右端的积分叫做先对、后对的二次积分，这个积分也常记作因此，等式(2)也可写成 （）这就是把二重积分化为先对、后对的二次积分的公式.以后我们称图84所示的积分区域为-型区域，图86所示的积分区域为-型区域，应用公式(1)时，积分区域必须是-型区域， -型区域的特点是:穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交不多于两点；而用公式（2）时，积分区域必须是-型区域，-型区
12、域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交不多于两点如果积分区域如图87那样，既有一部分，使穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交多于两点；又有一部分，使穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交多于两点，即既不是-型区域，又不是-型区域对于这种情形，我们可以把分成几部分，使每个部分是-型区域或是-型区域例如，在图87中，把分成三个部分，它们都是-型区域，从而在这三部分上的二重积分都可应用公式（1）各部分上的二重积分求得后，根据二重积分的性质2，它们的和就是在上的二重积分 图8-7图8-8 如果积分区域既是-型的，又是-型的，既可用不等式，表示，又可用不等式，表示(图88)，则由公式（）及（）就
13、得 （3）上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分例1计算积分，其中是正方形区域: .解例2计算，其中是由直线，和所围成的闭区域解画出积分区域（图8-9），若把看成型，则利用公式（1）得 若把看成型（图810），则利用公式（）得其中关于的积分计算比较麻烦，所以这里用公式（1）计算较为方便例3计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域解画出积分区域（如图811），若把看成型，则利用公式（）得若把看成型利用公式（1），则由于在区间及上表示的式子不同，所以要用经过交点且平行于轴的直线把区域分成和两部分（图812），其中因此，根据二重积分的性质2，就有由此可见，这里用公式（1
14、）来计算比较麻烦例4求.解由不定积分可知，因为的被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出二重积分对此类问题考虑采用交换积分次序的方法来解决，计算如下：交换积分次序方法的一般步骤为：（1）先依给定的二次积分限，写出积分区域的范围，并依此作出的图形；（2）再依区域的图形确定出另一种积分次序的积分限上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序这时，既要考虑积分区域的形状，又要考虑被积函数的特性.例5求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为及.利用立体关于坐标平面的对称性，只需算出它在第一卦限部分(图813()的体积，然后再乘以8就行了.所求立体在第一卦
