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1、实验六多元函数的极值【实验目的】1 多元函数偏导数的求法。2 多元函数自由极值的求法3 多元函数条件极值的求法.4 学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数的极值点和极值【实验准备】1计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数步骤2.求解正规方程,得到驻点步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是极值点,当为极小值, 为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断; 如果,则该驻点不是极值点.2计算二元函数在区域D内的最大值和最小值设函数在有界区域上连续
2、，则在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤1. 计算在内所有驻点处的函数值；步骤2. 计算在的各个边界线上的最大值和最小值；步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在内的最大值和最小值。3函数求偏导数的MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。jacobian(f,x)求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】 练习1 求函数的极值
3、点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数clear; syms x y;z=x4-8*x*y+2*y2-3;diff(z,x)diff(z,y)结果为ans =4*x3-8*y ans =-8*x+4*y即再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为：clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y)结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：clear; syms x y;z=x4-8*x
4、*y+2*y2-3;A=diff(z,x,2)B=diff(diff(z,x),y)C=diff(z,y,2)结果为A=2*x2B =-8 C =4由判别法可知和都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，和是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3;mesh(X,Y,Z)xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z)结果如图6.1图6.1 函数曲面图可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为-
5、500,100,是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.contour(X,Y,Z, 600)xlabel(x),ylabel(y)结果如图6.2图6.2 等值线图由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.练习 求函数在条件下的极值.构造Lagrange函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数clear; syms x y kl=x*y+k
6、*(x+y-1);diff(l,x)diff(l,y)diff(l,k)得再解正规方程clear; syms x y kx,y,k=solve(y+k=0,x+k=0,x+y-1=0,x,y,k)得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.练习3 抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.这个问题实际上就是求函数在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数clear; syms x y z u vl=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);diff(l,x)diff(l,y)
7、diff(l,z)diff(l,u)diff(l,v)得再解正规方程clear;x,y,z,u,v=solve(2*x+2*x*u+v=0,2*y+2*y*u+v=0,2*z-u+v=0,x2+y2-z=0,x+y+z-1=0,x,y,z,u,v)得上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集，上连续，从而存在最大值与最小值），故由求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为，最短距离为。练习4 求函数在上半圆上的最大值和最小值。首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为：clear; x=-4:0.1:4;
8、 y=-4:0.1:4;X,Y=meshgrid(x,y);Z=X.2+Y.2-4*X-2*Y+7;contour(X,Y,Z,100)xlabel(x),ylabel(y)结果如图6.3图6.3 等值线观测图6.3可看出，在区域内部有唯一的驻点，大约位于在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于。下面通过计算加以验证。求函数在区域内的驻点，计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数clear; syms x y;z=x2+y2-4*x-2*y+7;diff(z,x)diff(z,y)结果得解正规方程clear; x,y=solve(2*x-4=0,2*y-2=0,x,y)
9、得驻点为(2,1),相应的函数值为2。求函数在直线边界上的最大值和最小值。将代入原函数，则二元函数变为一元函数首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为：x=-4:0.01:4; y=x.2-4*x+7;plot(x,y);xlabel(x),ylabel(z)结果如图6.4所示图6.4 函数图由图6.4可看出，当时函数取得最大值，时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导clear; syms x ;z=x2-4*x+7; diff(z,x)得，可知驻点为，而边界点为，计算着三个点上的函数值可得当时函数取得最大值39，时函数取得最小值3。求函数在圆弧边界线上的最大值和最小值。此边界线
10、可用参数方程表示。则二元函数变为一元函数首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为：t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23;plot(t,z);xlabel(t),ylabel(z)结果如图6.5所示图6.5 函数图由图6.5可看出，当时函数取得最小值，时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导clear; syms t ;z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t)得,解正规方程clear; t=solve(16*sin(t)-8*cos(t)=0,t)numeric(t) %求出t的数值得，边界点为，计算着三个点上的函数值可得当时函数取得最小值0.5111，时函数取得最小值39。 综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。【练习与思考】1. 求的极值，并对图形进行观测。2. 求函数在圆周的最大值和最小值。3. 在球面求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。4. 求函数在平面与柱面的交线上的最大值。5. 求函数在三条直线所围区域上的最大值和最小值。7
