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1、 3 微 分一、单变量函数的微分 1. 基本概念导数的定义及其几何意义 设函数y=f(x)当自变量在点x有一改变量时,函数y相应地有一改变量 ,那末当趋于零时,若比的极限存在(一确定的有限值)，则称这个极限为函数f(x)在点x的导数,记作图5.1这时称函数f(x)在点x是可微分的函数(或称函数f(x)在点x可微)。在几何上,函数f(x)的导数是函数y=f(x)表示的曲线在点x的切线的斜率,即=式中为曲线在点x的切线与x轴的夹角(图5.1)。 单边导数=及=分别称为函数f(x)在点x的左导数和右导数。导数存在的充分必要条件是:= 无穷导数 若在某一点x有=则称函数f(x)在点x有无穷导数。这时函
2、数y=f(x)的图形在点x的切线与x轴垂直(当=+时,函数f(x)的图形在点x的切线正向与y轴方向一致,当=时,方向相反)。 函数的可微性与连续性的关系 如果函数y=f(x)在点x有导数，那末它在点x一定连续。反之,连续函数不一定有导数,例如 1函数y=|x|在点x=0连续,在点x=0,左导数=1,右导数 =1,而导数不存在(图5.2)。 图5.2 图5.3 2函数 y=f(x)= 在点x=0连续,但在点x=0左右导数都不存在(图5.3)。 2. 求导数的基本法则四则运算求导公式若c为常数,函数u=u(x), 都有导数,则 =0 =c （0）复合函数的导数 若y=f(u),u=都有导数,则=反
3、函数的导数 如果函数y=f(x)在点x有不等于零的导数,并且反函数x=f1(y)在点y连续,那末 存在并且等于，即=隐函数的导数 假定函数F(x,y)连续,并且对于每个自变量都有连续的偏导数,而且，则由F(x,y)=0所决定的函数y=f(x)的导数=式中，(见本节，四)。用参数表示的函数的导数 设方程组（t0取取+Ar csch x,x0 Arch x=,x1f0取+，f0Arth x=(x1)lnsechxcschx简单函数的高阶导数表f(x)m(m1)(mn+1) (当m为整数且nm时，=0)这里(2n+1)!=(2n+1)(2n1) (a0)shxshx(n为偶数)，chx(n为奇数)c
4、hxchx(n为偶数)，shx(n为奇数)4.数值导数当函数用图形或表格给出时,就不可能用定义求出它的导数,只能用近似方法求数值导数.图解微分法 适用于用图形给出的函数求导数,例如机械设计中已知st图,求图, at图等,其基本步骤如下：(1) 将原坐标系Oxy沿y轴负方向平移一段距离得坐标系 (图5.4).图5.4(2) 过曲线y=f(x)上点M1(x1,y1)作切线M1T1 .在坐标系内,过点P(1,0)作PQ1平行于M1T1交y轴于点Q1 ,那末点Q1 (点)的纵坐标就是导数.以Q1的纵坐标为纵坐标,x1为横坐标作出点.(3) 在曲线y=f(x)上取若干个点M1,M2,在曲线弯曲程度较大处
5、点取得密些.仿上作法,在坐标系内得到相应点,顺次连成光滑曲线,即是导函数的图形.差商公式 在实用中常使用下列简单的近似公式,式中 = （函数f (x)在点a的阶差分） （函数f (x)在点a的阶差分） （函数f (x)在点a的k阶差分）在函数的数值表中,如果有误差,则高阶差分的偏差较大,所以用以上公式不宜计算高阶导数.用插值多项式求数值导数 假定已经求出了函数y=f (x)的插值多项式Pn (x),它可以求导,则用近似,由f(x)=Pn(x)+Rn(x)略去余项,得等等.它们的余项相应为,等等.应当指出,当插值多项式Pn(x)收敛于f(x)时, 不一定收敛于f (x).另外,当h缩小时,截断误
6、差减小,但舍入误差却增加,因此,采用缩小步长的方法也不一定能达到提高精度的目的.由于用插值法求数值微分的不可靠性,在计算时,要特别注意误差分析,或者改用其他方法.拉格朗日公式 (由拉格朗日插值公式得来,见第十七章,2,三)式中 ()马尔科夫公式 (由牛顿插值公式得来,见第十七章,2,二) ()特别,当t = 0时,有 等距公式三点公式四点公式五点公式 用三次样条函数求数值导数 这个方法能避免用插值法求数值导数的不可靠性.因为对于样条函数(曲线y=f(x)的三次样条函数S(x)的作法见第十七章,2,四),当被插值函数f(x)有四阶连续导数,且hi=xi+1xi0时,只要S(x)收敛于f(x),则
7、导数一定收敛于,且S(x)f(x)=O(H4)，O(H3),其中H是hi的最大值,因此,可直接通过三次样条函数 求数值导数得= 式中,(i=0,1,2,)。 若仅求样点xi上的导数,则 =二、多变量函数的微分偏导数及其几何意义 设二元函数u=f(x,y)当变量x有一个改变量x而变量y保持不变时,得到一个改变量u=f(x+x,y)f(x,y)如果当x0时,极限=存在,那末这个极限称为函数u=f(x,y)关于变量x的偏导数,记作或,也记作或,即=类似地,可以定义二元函数u=f(x,y)关于变量y的偏导数为=偏导数可以按照单变量函数的微分法则求出,只须对所论变量求导数,其余变量都看作常数.偏导数的几
8、何意义如下:二元函数u=f(x,y)表示一曲面,通过曲面上一点M(x,y,u)作一平行于Oxu平面的平面,与曲面有一条交线,就是这条曲线在该点的切线与x轴正向夹角的正切,即=.同样,有= (图5.5).图5.5偏导数的定义不难推广到多变量函数u=f(x1,x2,xn)的情形.偏微分 多变量函数u=f(x1,x2,xn)对其中一个变量(例如x1 )的偏微分为也可记作.可微函数与全微分 若函数u=f(x,y)的全改变量可写为=+式中A,B与x,y无关,则称函数u=f(x,y)在点(x,y)可微分(或可微),这时函数u=f(x,y)的偏导数,一定存在,而且=A, =B改变量u的线性主部=+dy称为函
9、数u=f(x,y)的全微分,记作du=+dy (1)函数在一点可微的充分条件:如果在点(x,y)函数u=f(x,y)的偏导数存在而且连续,那末函数在该点是可微的.公式(1)具有一阶微分的不变性,即当自变量x,y又是另外两个自变量t,s的函数时,上面的公式仍然成立.上述结果不难推广到多变量函数u=f(x1,x2,xn)的情形.注意,在一个已知点,偏导数的存在一般说来还不能确定微分的存在.复合函数的微分法与全导数1 设u=f(x,y),x=(t,s),y=(t,s),则=+=+2 设u=f(x1,x2,xn),而x1,x2,xn又都是t1,t2,tm的函数,则3 设u=f(x,y,z),而y=(x,t),z=(x,t),则= =4 设u=f(x1,x2,xn), x1= x1(t), x2= x2(t), ,则函数u=f(x1,x2,)的全导数为齐次函数与欧拉公式 如果函数f(x,y,z)恒等地满足下列关系式f(tx,ty,tz)=f(x,y,z)则称f(x,y,z)是一个k次的齐次函数.对于这种函数,只要它可微,就有(欧拉公式)注意,齐次函数的次数k可以是任意实数,例如,函数就是自变量x及y的次齐次函数.隐函数的微分法 设F(x1,x2,xn,u)=0,则
