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4、006届高三第二次联考选择题第12题：已知a1，则函数的图象与其反函数的图象（ ）A不可能有公共点 B不可能只有一个公共点C最多只有一个公共点 D最多只有两个公共点许多平时数学成绩优秀的学生都选错了答案，有选A、选B，也有选C的，而正确答案为D。二、学生思路分析如此多的学生出错，我认为这个问题值得在试卷讲评时作深入的探讨。我决定让学生动手自己分析，让学生来争论，在争论中来解决问题。学生甲：因为a1，所以采用特殊值法，如a=10，则在平面直角坐标系中作出函数和其反函数的图象，经观察，两者之间没有公共点。学生乙：既然采用特殊值法，如果取a=1.1，则同样作图，可以发现有2个交点，则甲选特殊值a=1
5、0是不对的。学生丙：这说明交点的个数跟a的取值有关，a取得值大，则无交点，a取得值小，则有2个交点，是否存在只有一个交点的情况呢？学生丁：我们在学指数函数和对数函数的图象时知道，指数函数（a1）的图象，当底数a越大，图象向上越与y轴越接近，而对函数（a1）的图象当a的值越大图象向右与x轴越接近。由图象的直观性知，在a由小变大的过程中，两者的图象间由“亲密接触”到“公道扬镳”，这个过程中一定存在一个定值a。，此时两者的图象只有一个公共点。说明甲、乙两位同学的分析都有失偏颇。三、成因分析总结几位同学的分析，我在课堂上归纳出了主要的错误：当a1时，方程无解；漏了还可能有1个或2个解的情况。产生错误的
6、根本原因对函数，的变化性质不清楚，而其解决常要用到微积分手段，这对学生来说，要求是够高的，在这个前提下，直接原因有两个：第一：受到图形特定位置或作图不准确的干扰，比如作一个的图象误以为（a1）的图象都在y=x的上方，这可能受解选择题的特殊值法的影响缘故！第二：对“互为反函数的图象关于y=x对称 ”作了错误推理：推出两图象的交点在y=x上，这是一个由来已久的逻辑性错误。四、问题的求解在学生发言的基础上，最后我提供了问题的正确思路及结论，便于学生在类似问题中的解决。当a1时，方程的存在域为x0，与互为反函数，图象关于直线y=x对称，对a1，它们都是增函数，由幂函数（x1，0）为增函数知，当a1a2
7、时，对x0，有a1xa2x，因此a从接近于1开始增大时，的图象从上方穿入再穿出直线y=x。1当a等于某一定数a01时，与直线y=x相切，有一个公共点，则方程有一个解。2当a大于这一定值x0时，其图象愈来愈远离直线y=x，使得与直线y=x无交点，则方程无解。3当a小于这一定值a0时，与直线y=x相交于两点，则方程有两解。可见，随着a由1开始增大，与直线y=x的图象交点个数由2个到1个，再到0个，借助于这一直观，学生更容易接受。至此，争论结束，学生普遍掌握了这类问题的解题方法，让学生在争论中解决问题收到了意想不到的效果。 嵊州市2006年教学案例评比三等奖3逸介粘骑峙南盯穆敖型棚抠况鹰逸鲁昏兹和董
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