高中数学必修二复习基本概念公理

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1、高中数学必修二复习 基本概念 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等.空间两直线的位置关系: 空间两直线的位置关系:

2、 空间两条直线只有三种位置关系:平行,相交,异面 1,按是否共面可分为两类: (1)共面: 平行, 相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交. 异面直线判定定理: 用平面内一点与平面外一点的直线, 与平面内不经过该点的直线是异面 直线. 两异面直线所成的角:范围为 ( 0,90 ) esp. 空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2,若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点 平行或异面直线和平面的位置关系: 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面

3、内,与平面相交,与平面平行 直线在平面内有无数个公共点 直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角. esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a,直线与平面垂直时,所成的角为直角,b,直线与平面平行或在平面内,所成的 角为 0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 0,90 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线 a 和一个平面 内的任意

4、一条直线都垂直,我们就说 直线 a 和平面 互相垂直.直线 a 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 a 的垂面.直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条 直线垂直于这个平面. 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义: 如果一条直线和一个平面没有公共点, 那么我们就说这条直线和这 个平面平行. 直线和平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条 直线和这个平面平行. 直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线

5、的平面和这个平 面相交,那么这条直线和交线平行.两个平面的位置关系: 两个平面的位置关系: (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系: 两个平面平行没有公共点; 两个平面相交有一条公共直线. a,平行 两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两 个平面平行. 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行. b,相交 二面角 (1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面. (2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的取值范

6、围为 0,180 (3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱. (4) 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面. (5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. (6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角. esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面 一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直

7、线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 时， 。当 时， ；当 时， 不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率k，且过点 注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式： ，直线斜率为

8、k，直线在y轴上的截距为b两点式： （ ）直线两点 ， 截矩式： 其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。一般式： （A，B不全为0）注意：1各式的适用范围2特殊的方程如：平行于x轴的直线： （b为常数）； 平行于y轴的直线： （a为常数）； （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为0的常数）的直线系： （C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系： ，直线过定点 ；（）过两条直线 ， 的交点的直线系方程为 （ 为参数），其中直线 不在直线系中。（5）两直线平行与垂直当 ， 时， ； 注意：利用斜率判断直线

9、的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合（7）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，则（8）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离（9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。顶5 2011-06-15 13:53 回复 0号c粒 2065位粉丝 进士82楼 二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的*叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 ，圆心 ，半径为r；（2）一般方程 当 时，方程表示圆，此时圆心为， 半径为当 时

10、，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 圆心 到l的距离为 则有（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有 ； ； 注：如圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中 表示切点坐标，r表

11、示半径。(3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 ， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 时两圆外离，此时有公切线四条；当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆

12、内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 时，两圆内含； 当 时，为同心圆。 2011-06-15 13:53 回复 0号c粒 2065位粉丝 进士83楼 三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1） 棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是

13、多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征

14、：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， 为斜高，l为母线）