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1、A Brief Introduction of Chaos 目錄目錄 第第 1 章章 什麼是混沌什麼是混沌(WHAT IS CHAOS ?) .2 1.差之毫厘，失之千里、牽一髮而動全身。2 2.對初始條件的敏感性。2 3.蝴蝶效應(BUTTERFLY EFFECT) .2 4.不規則之中仍存在秩序3 5.混沌理論3 6.混沌理論的重要性3 第第 2 章章 混沌數學上的定義混沌數學上的定義3 第第 3 章章 混沌的重要法則：疊代混沌的重要法則：疊代(ITERATIVE).6 第第 4 章章 碎形碎形(FRACTAL)(混沌世界的秩序混沌世界的秩序).8 (1) 填充空間的曲線(SPACE-FI
2、LLING CURVE)8 (2)卡區曲線(KOCH CURVE)。9 (3)明吉海綿 - 表面積無限大，但體積為 0(希爾平斯基地毯的立體版)。 .9 第第 5 章章 關於混沌現象的例子關於混沌現象的例子10 1.氣象系統 .10 2.股票市場 .10 第第 6 章章 結語結語11 REFERENCES.11 A Brief Introduction of Chaos 混沌之簡介混沌之簡介 交大應數 96 級 張永潔 第第 1 章章 什麼是混沌什麼是混沌(What is CHAOS ?) 1.差之毫厘，失之千里、牽一髮而動全身。 一個小小初始條件的差異可以嚴重影響系統長期的大變化。 （Jus
3、t a small change in the initial conditions can drastically change the long-term behavior of a system.） 2.對初始條件的敏感性。 對原本西方的科學基本理念來說， 如果你正在計算檯面上的一顆撞球，就 不用去理會室外一片樹葉的掉落。很輕微的影響可以被忽略，事物進行總會殊 途同歸，任意的小干擾，並不致於膨脹到任意大的後果。 但是混沌現象所指的是一點點的初始條件差異，會造成事件往後行為的 大大不同。 這就是對於初始條件的敏感性 。 3.蝴蝶效應(Butterfly Effect) (一隻在巴西的蝴蝶鼓
4、翅飛翔，會在德州誘發一場龍捲風嗎？) 這是描述混沌效應最有名的一個名詞。六零年代麻省理工學院的氣象學家兼 數學家勞倫茲(Edward Lorenz)教授，選擇了十幾條顯示出溫度、壓力、風速等氣 象數值的方程式，在他自己的電腦裡創造了袖珍玩具般的天氣。有一天，發現僅 是千分之一以下的誤差，對電腦裡的天氣來說，剛開始仍是跡近相同的兩個個案， 但經過數個月後，逐漸差異越來越大，終至面目全非的地步。 勞倫茲說：人們常覺得氣象的長期預報能辦得通的其中一個理由，是有些 真實的物理現象我們可以預測得很好，像是日蝕、月蝕和海水潮汐，一般人看到 我們既然能夠在數月以前把潮汐預報得蠻好，會說為什麼天氣的誤報卻屢見
5、不鮮， 僅僅是另一套流體系統，規則的複雜也大同小異，但我開始理解，任何不能遵守 週期性規矩的系統皆難以預測。 勞倫茲吸子 (Lorenz attractor) 左圖為著名的勞倫茲吸子(Lorenz attractor)。它顯示數據表面一團混亂下，仍有 精緻且規律的結構。此圖中，三項變數的值可對應到三度空間的某定點，當系統演 進，該點會隨之平滑地移動。若系統永遠不重覆自己，軌跡必須永遠不相互碰觸， 且無止休的打圈子。雖然不重覆，但是軌跡會一直像是繞著這兩個圈圈一樣，就像 是行為被一個圈圈吸過去。所以我們稱勞倫茲吸子 。 4.不規則之中仍存在秩序 混沌系統看似雜亂，但其之中仍存在規律性以及秩序。例
6、如地球每天的天氣， 存在於一個變化無窮的不可預報系統中一般，而氣候卻又呈現年復一年相當程度 的規律性。數值只有在某些範圍內起落，但絕不超過固定的範圍。如果我們能掌 握控制混沌系統的那隻手，我們是可以對短期的行為做出有效的預測的。 5.混沌理論 混沌在學術上是指雜亂無章的現象，一個確定的系統因隨機性產生複雜不 規則的狀態，研究此一現象的方法就叫混沌理論。混沌有幾種特質：非線性的、 複雜型態的、耗散結構的、循環對稱、對初始狀態具高敏感度。 前面我們提到勞倫茲對於天氣現象的發現。根據勞倫茲的方程式，所有解 都是不穩定且幾乎都是無週期性的；而任何一個無週期性的系統，都應該是不 可預報的（unpredi
7、ctability） 。系統不會回到原來的狀態，所以也不會重複表現與 過去一樣的狀態。雖然氣候可能顯現出大致類似的週期性，這些現象又決定了 天氣，它不會回到完全相同的情況，但可能有有限度的類似。 6.混沌理論的重要性 混沌理論不只是一門數學的分支，它還可以擴展影響應用到許多層面，像是 氣象系統、股票市場、生物數量的變化、大自然的圖像結構等等。渾沌理論 彰顯了細微與隨機事件的重要性，並且對於現象之預測持表留態度，也讓我們了 解非線性的系統僅能有限掌握。 第第 2 章章 混沌數學上的定義混沌數學上的定義 數學界目前還尚未有被完全接受的混沌定義。但是眾多定義之中，最廣泛使 用的是 Devaney 在
8、 1989 年所給的定義。 混沌的定義 Devancys Definition of Chaos Let X be a metric space. A continuous map f: XX is said to be chaotic on X if (1) f is topologically transitive. transitive : for all non-empty open subsets U and V of X, there exists a natural number k such that fk(U)V is nonempty. (對所有在 X 之中非空的開區間 U
9、 和 X，存在一個正整數 k 使得 fk(U)與 V 的交集不是空集合。) (2) The periodic points of f are dense in X. The point x in X is a periodic point of period n if fn(x)=x. the least positive n for which fn(x)=x is called the prime period of x. If for any two point a and b in X, ab, ab, and there exists a periodic point p that
10、apb, then we called the periodic points of f are dense in X. (如果在 X 之中的 x 點，存在一個自然數經過 f 函數作用 n 次 之後等於 x 自己，則我們稱 x 為週期點。對於 x 的最小的 n 正 整數，我們稱 n 為 x 的最小週期。 如果對於任意兩個在 X 之中的數 a 與 b, ab, ab，必存在週 期點 p 而且 apb，則我們稱 f 的所有週期點在 X 之中是稠密 的。) (3) f has sensitive dependence on initial conditions. if there is a posi
11、tive real number (a sensitivity constant) such that for every point x in X and every neighborhood N of x there exists a point y in N and a nonnegative integer n such that the nth iterates fn(x) and fn(y) of x and y respectively, are more than distance apart. (如果存在一個正實數 使得每一個在 X 之中的點 x 與 x 的 neighbor
12、hood N，存在一個在 N 的點 y 以及一個非負的正整數 n 使得 x 與 y 點經過 f 函數 n 次的轉換後，fn(x) and fn(y)的距離大 於 。) 關於第一個定義，淺顯地描述，就是指，任何兩個屬於 X 的小角落，其中 一個角落都可經過 f 的某個 n 次的變換後，到達另一個小角落，即便本來兩 個小角落可能有明顯的差距。以天氣系統來舉例，新竹的冬天，可以有暖暖 的陽光，讓氣溫高到攝氏 25 度以上，但是經過幾天天氣的變換，天氣可以變 成攝氏 10 度以下刮強風的狀態。 但是請注意：這個定義並非代表任意取兩個 X 之內的點 a 與 b，其中一 個點能經過有限次的變換後等於另一個
13、點 。但是一定有與 a 極為靠近的點能 經過有限次的轉換後等於一個與 b 極為靠近的點 。 five unknown men 關於第二個定義，首先要了解 dense 是什麼。感覺上來說，就是periodic points 在 X 裡是密密麻麻的 。例如，有理數 Q dense in 實數 R。 第三個定義也就是對初始條件的敏感依賴性 。對於兩個任意靠近的點， 不會經過無限次地轉換後仍是極為靠近。一個極微小的初始條件可能會在不斷 的疊代中造成放大。 關於 Devaneys Definition of Chaos，已有很多人針對此發表論文。其中 J. Banks 等五人在 1992 年發表的論文中
14、已經證明以下的理論： Devaneys Definition of Chaos If f:XX is transitive and has dense periodic points then f has sensitive dependence on initial conditions. 也就是，Devaneys Definition 之中的第一點與第二點可以推得第三點。我 們可以簡化 Devaneys Definition of chaos 為第一點與第二點即可。 另外，在 1994 年時 Michel Vellekoop 與 Raoul Berglund 也針對 Devaneys De
15、finition of Chaos 發表了以下的理論： Michel Vellekoop & Raoul Berglunds Definition of Chaos Let I be a, not necessarily finite, interval and f: II a continuous and topologically transitive map. Then (1) the periodic points of f are dense in I and (2) f has sensitive dependence on initial conditions. 這個理論是將 D
16、evaney 的定義之下的定義域限制在一個區間(interval)來看， 如果定義域是一個 interval，且 topologically transitive，則可推得另外兩個 Devaneys Definition of Chaos. 疊代(Iterative) 第第 3 章章 混沌的重要法則：疊代混沌的重要法則：疊代(Iterative) 疊代是指將前次產生的值再重新代入本身的一種行為。從數學語言來看， f(xn)=xn+1(在這之前最好要先定義 f 函數以及初始值 x0)；在日常生活中，疊代的 例子也是俯拾即是，例如陰晴變化的天氣系統、生物族群的數量變化等等。而在 某些條件下的疊代往往會造成混沌。 疊代方程式其中一個驚人的性質是對於初始條件的敏感。往往初始值僅有極 小的差異，但在經過幾次的疊代之後，很快地兩個數列互相遠離，彷彿找不出任 何關係。在混沌科學發展以前，科學家一直假設起始數據的小誤差也只會對往後 的結果產生小影響。但是當我們使用疊代法時，小的誤差會很快地被放大。 我們來看
