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1、函数函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题填空题解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点:考查函数的表示法定义域值域单调性奇偶性反函数和函数的图象.函数与方程不等式数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.题型1:求有解析式的函数的定义域(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的
2、的取值范围,实际操作时要注意: 分母不能为0; 对数的真数必须为正; 偶次根式中被开方数应为非负数; 零指数幂中,底数不等于0; 负分数指数幂中,底数应大于0; 若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集; 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写例1.(08年湖北)函数的定义域为( )A.;B.;C. ;D. 答案:题型2:求复合函数和抽象函数的定义域例1.(2007湖北)设,则的定义域为( )A. ;B. ;C. ;D. 答案:B.例2.已知函数的定义域为,求的定义域例3.已知的定义域是,求函数的
3、定义域例4.已知的定义域是(-2,0),求的定义域(-3x0)的函数,m0时,且对任意的abR,有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的xR,恒有f(x)0;(3)求证:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)f(2x-x2)1,求x的取值范围. 解析(1)证明:令a=b=0,则f(0)=f 2(0).又f(0)0,f(0)=1.(2)证明:当x0,f(0)=f(x)f(-x)=1.f(-x)=0.又x0时f(x)10,xR时,恒有f(x)0.(3)证明:设x10.f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1).x2-x10,f(x2-x1
4、)1.又f(x1)0,f(x2-x1)f(x1)f(x1).f(x2)f(x1).f(x)是R上的增函数.(4)解:由f(x)f(2x-x2)1,f(0)=1得f(3x-x2)f(0).又f(x)是R上的增函数,3x-x20.0x3.例2.已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意都有,且当时,(1)求证:是偶函数;(2)在上是增函数;(3)解不等式.解:(1)令,得,令,得,是偶函数.(2)设,则,即,在上是增函数.(3),是偶函数不等式可化为,又函数在上是增函数,解得:,即不等式的解集为.题型3:函数的单调性的应用例1.若函数 在区间(-,4 上是减函数,那么实数的取值范围是_(答:)
5、;例2.已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围_(答:);例3.函数在上是增函数,求的取值范围.分析:由函数在上是增函数可以得到两个信息:对任意的总有;当时,恒成立.解:函数在上是增函数,对任意的有,即,得,即, ,要使恒成立,只要;又函数在上是增函数,即,综上的取值范围为.另解:(用导数求解)令,函数在上是增函数,在上是增函数,且在上恒成立,得.考点2 函数的值域(最值)的求法求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时
6、常用此法(但有注意等号是否取得)(4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围题型1:求分式函数的最值例1.(2007上海)已知函数当时,求函数的最小值解析当时,在区间上为增函数在区间上的最小值为题型2:利用函数的最值求参数的取值范围例2.(2008广东)已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围 解析在区间上恒成立;在区间上恒成立;在区间上恒成立;函数在区间上的最小值为3, 即题型3:求三次多项式函数的最值例3.已知为实数,函数,若,求函数在上的最大值和最小值 解析, 得:当 当 因此,在区间内单调递减,而在
7、内单调递减,且又 ,函数的奇偶性(一)知识梳理1函数的奇偶性的定义:对于函数的定义域内任意一个,都有或,则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称对于函数的定义域内任意一个,都有或,则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)2.函数的奇偶性的判断:(1)可以利用奇偶函数的定义判断(2)利用定义的等价形式, ,()(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称3.函数奇偶性的性质:(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;
8、偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.(2)若奇函数定义域中含有0,则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件(3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”如设是定义域为R的任一函数, ,(4)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.(5)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.(二)考点分析考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1:判断有解析式的函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1);(3
9、);(4)题型2:证明抽象函数的奇偶性例1 .(09年山东)定义在区间上的函数f (x)满足:对任意的,都有. 求证f (x)为奇函数; 解析令x = y = 0,则f (0) + f (0) = f (0) = 0令x(-1, 1) -x(-1, 1) f (x) + f (-x) = f () = f (0) = 0 f (-x) =-f (x) f (x) 在(-1,1)上为奇函数例2.(1)函数,若对于任意实数,都有,求证:为奇函数(2)设函数定义在上,证明是偶函数,是奇函数考点2 函数奇偶性单调性的综合应用例1.已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围 解析 是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数,解得实数的取值范围是例2.设函数对于任意的,都有,且时,(1)求证是奇函数;(2)试问当时,是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由例3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-,0)内单调递增,f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 解析设0x1x2
