4.1异方差性

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1、第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型 计量经济回归分析，是在对线性回归模型提出若干基本假定的条件下，应用普通最小二乘法得到了无偏的、有效的参数估计量。但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假定的情况并不多见。不满足基本假定的情况，称为基本假定违背。主要包括：（1） 随机误差项序列存在异方差性；（2） 随机误差项序列存在序列相关性；（3） 解释变量之间存在多重共线性；（4） 解释变量是随机变量且与随机误差项相关。 除此之外，还有模型设定有偏误以及解释变量的方差随着样本容量的增加而不断增加这两类基本假定的违背。 在进行计量经济的回归分析时，必须对所研究对象是否满足OLS下

2、的基本假定进行检验，即检验是否存在一种或多种违背基本假定的情况，这种检验称为计量经济检验。经过计量经济检验发现出现一种或多种基本假定违背时，则不能直接使用OLS法进行参数估计，而必须采取补救措施或发展新的估计方法。本章主要讨论基本假定违背的前四种情形，后两种将分别在第五章与第九章中探讨。4.1 异方差性对于模型 i=1,2,n （4.2.1）同方差性假设为： i=1,2,n如果出现 i=1,2,n即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。 一、异方差的类型同方差性假定的意义是指，每个围绕其零平均值的变差并不随解释变

3、量X的变化而变化，不论解释变量是大还是小，每个的方差保持相同，即。在异方差的情况下，已不是常数，它随X的变化而变化，即：。异方差一般可归结为三种类型（图4.1）：（1） 单调递增型：随X的增大而增大；（2） 单调递减型：随X的增大而减小；（3） 复 杂 型：与X的变化呈复杂形式 图4.2.1 异方差的类型 二、实际经济问题中的异方差性 在实际经济问题中，哪些情况容易出现异方差性？下面以三个例子加以说明。例4.1.1：在截面资料下研究居民家庭的储蓄形为 第个家庭的储蓄额；第个家庭的可支配收入在该模型中，项的常数方差这一假定往往不符合实际情况。对高收入家庭来说，储蓄的差异较大，低收入家庭的储蓄则更

4、有规律性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。因此的方差往往随的增加而增加，呈单调递增型变化。例4.1,2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数： 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。我们知道，一般情况下居民收入服从正态分布，所以处于每个收入组中的人数是不等的，处于中等收入组中的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同的样本点，随机误差项的方差互不相同，出现了异方差性。更进一步分析，在这个

5、例子中，随机误差项的方差是随着解释变量（收入）的观测值的增大而呈U型变化，是复杂型的一种。例4.1.3，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。 一般经验告诉我们，对于采用截面数据作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点上解释变量以外的其它因素的差异较大，所以往往存在异方差性。 三、异方差性的后果计量经济学

6、模型一旦出现异方差性，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，会产生一系列不良的后果。1 参数估计量非有效根据2.2中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程，可以看出，当计量经济学模型出现异方差性，其普通最小二乘法参数估计量仍然具有线性性、无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中利用了 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。2 变量的显著性检验失去意义在2.3中关于变量的显著性检验中，构造了统计量，它是建立在随机误差项共同的方差不变而正确估计了参数方差的基础之上的。如果出现了异方差性，估计的出现偏误（偏大或偏小），检验失去意义。其他检验也是如此。3 模型的预

7、测失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；另一方面，在预测值的置信区间中也包含有参数方差的估计量。所以，当模型出现异方差性时，仍然使用OLS估计量，将导致预测区间偏大或偏小，预测功能失效。 四、异方差性的检验关于异方差性的检验方法，是计量经济学中一个重要的课题。在一些计量经济学教科书和文献中，可以见到十多种检验方法，例如图示检验法、等级相关系数法、戈里瑟检验、巴特列特检验、戈德菲尔特夸特检验等，很难说哪一种方法是最好的。这些方法尽管不同，但存在一个共同的思路。正如上面所指出的，异方差性，即相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么检验异

8、方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性。各种检验方法就是在这个思路下发展起来的。问题在于用什么来表示随机误差项的方差。一般的处理方法是首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近似估计量”，用表示。于是有 (4.2.2)即用来表示随机误差项的方差。下面有选择地介绍几种异方差的检验方法。 1、图示检验法既可用X-Y的散点图进行判断，也可用某一X-的散点图进行判断。对前者看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）（图4.2.1）；对后者看是否形成一斜率为零的直线（图4.2.2）。 X X X

9、 X 同方差 递增异方差 递减异方差 复杂型异方差 图4.2.2 不同异方差类型图示检验法只能进行大概的判断，其它检验方法则更为严格。2、帕克（Park）检验与戈里瑟（Gleiser）检验帕克检验与戈里瑟检验的基本思想是，以或为被解释变量，以原模型的某一解释变量为解释变量，建立如下方程： 或 选择关于变量的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。如帕克检验常用 或 进行检验，若在统计上是显著的，表明存在异方差性。当然，由于的具体形式未知，因此需要进行各种形式的试验。2、戈德菲尔德-匡特（Goldfeld-Quandt）

10、检验帕克检验与戈里瑟检验的困难在于需要选择不同的解释变量、偿试各种不同的函数形式进行多次反复试算；并且在进行试算的回归模型中，其随机项本身就可能不满足OLS的经典假设。戈德菲尔德-匡特检验则可同时克服这两大困难。G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。其基本思想是，先按某一解释变量对样本排序，再将排序后的样本一分为二，对两个子样分别进行OLS回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造F统计量进行异方差检验。G-Q检验的步骤可描述如下： （1）将n组样本观察值按某一被认为有可能引起异方差的解释变量观察值的大小排队； （2）将序列中间的c=个观察值除去，并将剩下的观察

11、值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为； （3）对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和。分别用与表示较小与较大的残差平方和(自由度均为)；（4）在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量（5）给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值， 若F，则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增异方差还是递减异方差。3、怀特（White）检验 戈德菲尔德-匡特检验需要按某一被认为有可能引起异方差的解释变量观察值的大小排序，因此，可能需对各个解释变量进行轮流试验。而且，该方法只能检验递增或递减型异方差。而怀特检验则不需要排

12、序，且对任何形式的异方差都适用。 下面以2个解释变量的回归模型为例说明怀特检验的基本思想与步骤。假设回归模型为 可先对该模型作OLS回归，并得到；然后做如下辅助回归： 可以证明，在同方差假设下，从该辅助回归得到的可决系数与样本容量n的乘积，渐近地服从自由度为辅助回归方程中解释变量个数的分布： n则可在大样本下，对统计量n进行相应的检验。 需要注意的是，辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归

13、方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。 五、异方差的修正如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）。加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。加权的基本思想是，在采用OLS方法时，对较小的残差平方赋予较大的权数，对较大的赋予较小的权数，以对残差提供的信息的重要程度作一番校正，提高参数估计的精度。 加权最小二乘法，就是对加了权重的残差平方和实施OLS法： （4.1.2)其中，为权数 例如，如果在检验过程中已经知道：即随机误差项的方差与解释变量之间存在相关性，那么可以用去除原模型，使之变成如下形式的新模型： 在该模型中，存在 即满足同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数的无偏的、有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是。如果直接用=作为权数，则容易验证变换后模型的随机误差项的方差等于1，也满足同方差性。此时加权最小二乘法就是对如下加了权的模型采用普通最小二乘法： （4.1.3）或求解min (4.1.4)一般情况下，对于模型