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1、高中数学解题实战十法一、了解十种方法1、 配方法2、 换元法3、 待定系数法4、 定义法5、 数学归纳法6、 参数法7、 反证法8、 分析与综合法9、 特殊与一般法10、 类比与归纳法 二、实战举例讲解一、 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次
2、曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。思考题：1. 在正项等比数列a中，asa+2asa+aa=25，则 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k
3、1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1，则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog (2x5x3)的单调递增区间是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a_。【简解】 1小题：利用等比数列性质aaa，将已知等式左边后配方（aa）易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r，解r0即可，选B。二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是
4、转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然
5、有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr（r0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取
6、，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。思考题：1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2.设f(x1)log(4x) （a1），则f(x)的值域是_。3.已知数列a中，a1，aaaa，则数列通项a_。4.设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) log(22)2的解集是_。【简解】1小题：设sinx+cosxt,，则yt，对称轴t1，当t，y；2小题：设x1t (t1)，则f(t)log-(t-1)4，所以值域为(,log4；三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知
7、系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可
8、以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： 利用对应系数相等列方程； 由恒等的概念用数值代入法列方程； 利用定义本身的属性列方程； 利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所
9、求圆锥曲线的方程。思考题：1. 设f(x)m，f(x)的反函数f(x)nx5，那么m、n的值依次为_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式axbx20的解集是(,)，则ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展开式中，x的系数是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函数yabcos3x (b0)的最大值为，最小值为，则y4asin3bx的最小正周期是_。5. 与直线L：2x3y50平行且过点A(1,-4)的直线L的方程是_。6. 与双曲线x1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是_。
10、【简解】1小题：由f(x)m求出f(x)2x2m，比较系数易求，选C；2小题：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得ab，选D；四、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。思考题：1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元
11、素，AB的元素个数为n，则_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 设MP、OM、AT分别是46角的正弦线、余弦线和正切线，则_。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP3. 复数za2，z2，如果|z| |z|，则实数a的取值范围是_。A. 1a1 C. a0 D. a14. 椭圆1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_。A. 8 C. 7.5 C. D. 35. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f()的值为_。A. T B. 0 C. D. 不能确定6. 正三棱台的侧棱与底面成45角，则其侧面与底面所成角的正
12、切值为_。【简解】1小题：利用并集定义，选B；2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明nk1时
13、命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或nn且nN）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是nk1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。思考题：1. 用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)212(2n1) （nN），从“k到k1”，左端需乘的代数式为_。 A. 2k1 B. 2(2k1) C. D. 2. 用数学归纳法证明11)时，由nk (k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的代数式的个数是_。 A. 2 B. 21
