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1、品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-2,統計方法與品質管理,壹、統計學概述 貳、敘述統計學 參、機率分配 肆、抽樣分配 伍、估計與假設檢定,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-3,壹、統計學概述,對資料作蒐集、整理、分析與推論的科學。可將龐大的資料轉換成有用的資訊。 資料的種類可分為文字資料、屬性資料（又稱類別資料）和屬量資料。 蒐集資料前需定義清楚母體。母體是有興趣的個體或對象之所有觀測值所形成的集合。 樣本為母體的一部分。用以描述樣本的特性，如樣本平均數( )和樣本變異數(S2)等稱為統計量。 統計學依發展的內容可分為兩部分，一為敘述統計學，另一為推論統
2、計學。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-4,貳、敘述統計學,一組資料在分析前，必須先加以整理，才可了解這組資料的特性。 除了可利用圖形，來了解資料變化的情形外，一些簡單的統計量也可提供有用的資訊。 平均數 中位數 眾數 變異數,標準差 全距 統計圖表,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-5,平均數,母體平均數( )的定義為將母體中之所有觀測值加總，再除以母體個數。 樣本平均數( )則是樣本內所有觀測值之平均值 。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-6,變異數,變異數用以表示資料的離散趨勢 。 母體變異數為 樣本變異數為,品質管理 Ch
3、apter 3 統計方法與品質管理,3-7,標準差,標準差亦用以表示資料的離散趨勢。 將母體變異數開根號取正值即是母體標準差； 樣本變異數開根號取正值，即是樣本標準差。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-8,參、機率分配 1/2,用以描述隨機變數的所有可能值之發生機率。 依資料種類是間斷或連續的可分為間斷型機率分配和連續型機率分配。 間斷型機率分配 連續型機率分配 超幾何分配 二項分配 超幾何分配與二項分配之關係,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-9,機率分配 2/2,卜瓦松分配 二項分配與卜瓦松分配之關係 常態分配 二項分配、卜瓦松分配與常態分配之關係
4、 指數分配 韋伯分配,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-10,間斷型機率分配,圖 3.4 間斷型機率分配,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-11,連續型機率分配,圖 3.5 連續型機率分配,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-12,超幾何分配 1/2,主要是應用於下列三個條件都滿足的情況： 母體內被觀察的單位個數有限。 觀察單位依其特性可分為兩類。 以不放回的方式抽樣。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-13,超幾何分配為間斷型分配，其機率質點函數為 x = 0,1,2,min (n，D),超幾何分配 2/2,品質管
5、理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-14,二項分配 1/2,百努利試驗(bernoulli trial)為一隨機試驗，有兩個可能的結果，研究者有興趣的結果稱為成功，另一結果則稱為失敗。 重複百努利試驗 n 次，令成功的次數為 X，則隨機變數 X 即為二項分配。 在品管上，二項分配可應用於計算特定不合格品數的發生機率或計數值管制圖中的不合格數管制圖和不合格率管制圖。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-15,二項分配 2/2,二項分配為一間斷型分配，其機率質點函數為 x = 0,1,2, n，其中 0p1，,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-16
6、,卜瓦松分配 1/2,X 表在特定時間內或特定面積內事件發生的次數，且事件之發生相互獨立，則隨機變數 X 為卜瓦松分配。 在品管上，卜瓦松分配可應用於計算布匹上發生特定缺點數的機率或計數值管制圖中的缺點數管制圖和單位缺點數管制圖。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-17,卜瓦松分配 2/2,卜瓦松分配為間斷型機率分配，其機率質點函數為 P(X = x) = P(x) = 其中 為單位時間內事件發生的平均次數,x = 0,1,2,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-18,常態分配 1/4,常態分配為一鐘型的對稱分配，對稱於平均數 ，反曲點到 的距離為標準差，
7、如圖3.6所示。 常態分配為一連續型分配，其機率密度函數為 ，-x,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-19,常態分配 2/4,將X標準化即可獲得標準化常態分配，即 N（0, 1） 在常態分配中 x + 或1z1的範圍可包含約68.26%（查附錄4的Z值表）之群體， 2x+2 或2z2的範圍可包含約95.46%之群體，而 3x +3 或 3z3 的範圍可包含約99.73%之群體。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-20,常態分配 3/4,自母體中隨機抽出一樣本組，母體的平均數為 ， 變異數為 2，若母體的分配未知或不為常態分配，但樣本大小夠大（一般要求 n
8、 30），則利用中央極限定理可知樣本平均數( )的抽樣分配為平均數是，變異數是 2/n之常態分配即,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-21,圖 3.6 常態分配,常態分配 4/4,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-22,指數分配,令隨機變數 X 代表實行卜瓦松實驗並觀察至某事件發生為止的等待時間，則 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數（圖3.8）為： 則稱 X 為指數分配，即 Xexp ( )。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-23,韋伯分配 1/2,在產品壽命試驗的可靠度評估中，韋伯分配是除指數分配外應用最廣的機率分配。 令 X
9、 是韋伯分配的隨機變數，則其機率密度函數為：,當三個參數中的任何參數變動時，分配的型式就有不同的變化（如圖3.9）,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-24,圖 3.9 韋伯分配的機率密度函數,韋伯分配 2/2,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-25,肆、抽樣分配 1/2,研究者常因時間和成本的限制，無法獲得母體的資料，而對母體的特性無所了解。 解決的方法是，以有限的時間和成本由母體中隨機抽取一組樣本，再以統計量（即隨機樣本的函數且不含未知參數）的機率分配（稱為抽樣分配）對母體的特性（如母體平均數或母體變異數等）做統計推論，即可以了解母體的特性。,品質管理
10、 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-26,抽樣分配 2/2,來自常態母體的抽樣分配 來自二項母體的抽樣分配 來自卜瓦松母體的抽樣分配,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-27,來自常態母體的抽樣分配 1/2,卡方分配 若連續隨機變數X，其機率密度函數 x 0，其中 r 1，為一正整數值的固定參數，則稱 X 為具有自由度為 r 的卡方分配隨機變數，可以表示為 X 。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-28,圖 3.10 卡方分配圖,來自常態母體的抽樣分配 2/2,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-29,t分配 1/2,若連續變數
11、 x 之機率密度函數為 f(x) = ，-x 其中 r 1，為一正整數值的固定參數，則稱 X 為具有自由度是 r 的Students t 分配，記為Xt (r)。其分配形狀如圖3.11所示。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-30,圖 3.11 t 分配圖,t分配 2/2,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-31,F分配 1/2,若連續變數 X 之機率密度函數為 x 0，其中 r1和 r2為兩個固定正整數，則稱為X具有自由度為(r1, r2)之 F分配；即 XF(r1, r2 ) 。 F分配圖形如圖3.12所示。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品
12、質管理,3-32,圖 3.12 F分配圖,F分配 2/2,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-33,來自二項母體的抽樣分配 1/3,樣本比例分配 設X 為來自二項母體的隨機變數，即XB(n, p)。若 p未知，為了推論未知的母體比例 p，我們以樣本比 例 = 對 p 做統計推論。若X 近似常態分配，則 也近似標準常態分配。 在品管應用上，只要知道樣本比例( )的抽樣分配，即可建立不合格率管制圖（p管制圖）或不合格品數管制圖（np 管制圖）。另外，也可用以推論產品的不合格率(p)。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-34,兩個樣本比例差的分配 設 X1和 X
13、2分別為來自兩個相互獨立的二項母體若X1和 X2分別近似常態，則,來自二項母體的抽樣分配 2/3,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-35,也近似常態分配，即 Z= N(0, 1)。 在品管應用上，此分配可以用以推論哪家廠商的產品不合格率較低，以做為材料或產品採購的 對象。,來自二項母體的抽樣分配 3/3,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-36,來自卜瓦松母體的抽樣分配,在品管應用上，此抽樣分配不僅可用以對產品的母體平均缺點數或單位平均缺點數做統計推論。 也可用以建立缺點數管制圖或單位缺點數管 制圖 。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3
14、-37,伍、估計與假設檢定 1/3,對母體未知參數做統計推論的方法有兩種，為： 估計 點估計：以樣本統計量的值做為母體未知參數的估計值。 區間估計：以樣本統計量的值加上所允許的最大誤差值當為母體未知參數的區間估計值。 假設檢定： 對母體的未知參數作一假設值，再以檢定統計量的值決定假設是否被拒絕。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-38,估計與假設檢定 2/3,單一母體平均數的估計 單一母體變異數的估計 單一母體平均數的假設檢定 單一母體變異數的假設檢定 兩獨立母體平均數差的估計 兩獨立母體平均數差的假設檢定,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-39,估計與
15、假設檢定 3/3,兩獨立母體變異數比的估計 兩獨立母體變異數的比較 單一母體比例的區間估計 單一母體比例的假設檢定 兩獨立母體比例差的區間估計 兩獨立母體比例差的假設檢定,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-40,單一母體平均數的估計, 的點估計值 樣本平均數 ，此值即 的點估計值。 的區間估計 使用點估計的缺點是忽略了未知母體參數和點估計值之間的誤差，誤差 。 通常，為了提高估計未知參數的準確度，我們會控制誤差的上限( EU )及其發生的機率(1)或信賴係數100(1)% 。,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-41,母體是常態且變異數已知,可推導得 的100(1)%信賴區間為 (3-3),品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-42,母體非常態且變異數已知,由中央極限定理得知，在樣本大小 n 30下， 的 100 (1)%信賴區間為,品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-43,母體是常態且變異數未知,可推導得 的100 (1)%信賴區間為 (3-5),品質管理 Chapter 3 統計方法與品質管理,3-44,單一母體變異數的估計 1/3,當母體是常態且母體變異數( 2)未知時，其最佳的估計量是樣本變異數S 2 。 通常，數理統計書並不直接利用S 2的抽樣分配對 2作估計，而是利用 的分配對
