《2018年湖南省长沙市高三第四次月考数学（理）试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年湖南省长沙市高三第四次月考数学（理）试题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018届湖南省长沙市长郡中学高三第四次月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，故选B.2. 若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C。3. 已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】
2、C【解析】若与夹角为锐角，则，且与不平行，所以，得，且，所以“”是“，且”的必要不充分条件。故选C。4. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题设可得，则，应选答案B。5. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B【解析】乙、
3、丁两人的观点一致，乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯6. 一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】由三视图可得到如图所示几何体，该几何体是由正方体切割得到的，利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为，该几何体的体积为.点睛:三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意
4、看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图7. 已知是平面内夹角为的两个单位向量，若向量满足，则的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：由已知， ，（是与的夹角），而，因此的最大值为考点：向量的数量积，向量的模8. 执行如图所示的程序框图，则输
5、出的值为（ ）A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008【答案】B【解析】由程序框图则，由规律知输出故本题答案选【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.9. 已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离
6、心率等于（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】设，则，所以，所以，得，所以，所以。故选A。10. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个.A. 53 B. 59 C. 66 D. 71【答案】D【解析】由题设中提供的信息可知：和为10四位数字分别是（0,1,2,7），（0,1,3,6），（0,1,4,5）（0,2,3,5），（1,2,3,4）共五组；其中第一组（0,1,2,7）中，7排首位有种情形，2排首位，1、7排在第二位上时，有种情形，2
7、排首位，0排第二位，7排第三位有1种情形，共种情形符合题设；第二、三组中3,、6与4、5分别排首位各有种情形，共有种情形符合题设；第四、五组中2、3、5与2、3、4分别排首位各有种情形，共有种情形符合题设。依据分类计数原理可符合题设条件的完美四位数共有种，应选答案D。点睛：分类计数原理与分步计数原理是排列组合中的重要数学思想和方法。求解本题时，充分借助题设中的完美四位数的定义，巧妙运用分类计数原理与分步计数原理进行分析求解，从而使得问题巧妙获解。11. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设
8、，且的外接圆的方程为，将分别代入可得，由可得，即，所以，即，所以，应选答案A。点睛：解答本题的思路是先借助圆的一般式方程，进而求出三角形外接圆的圆心坐标为，然后依据题设建立不等式，即，然后借助参数之间的关系求出椭圆离心率的取值范围使得问题获解。12. 已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，所以，令，则，又有两个零点，则有解，则存在解，又，所以令，且，所以，令，则，所以在单调递增，则，所以的范围是。故选D。点睛：本题为分段的嵌套函数，则令，又原函数的值域性质可知有两个零点，及有解，则存在解，且，由图象可知，且，所以，令，通过求导，可知的范围是
9、。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为_【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为 ,由点 在双曲线上,有 ,所以 ,故双曲线方程为 .14. 已知函数，若正实数满足，则的最小值为_【答案】1【解析】解析：因，故由题设可得时，即，则，应填答案1。15. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_【答案】【解析】令的中心为，球的半径为，连接，易求得，则，在中，由勾股定理得，解得，由，知，所以，所以当截面与垂直时，
10、截面的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面面积为当截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为故本题应填点睛：解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的16. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为_【答案】【解析】直线过焦点，则，所以，所以。点睛：本题中首先要观察得到直线过抛物线焦点，通过作图，结合抛物线的几何意义，得到，联立直线与抛物线方程，解
11、出，代入，求出答案。三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，为边上的点，为上的点，且，.（1）求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由题意可得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，解得：故的长为。（2）在中，由正弦定理得，即所以，所以因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以18. 现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率；（2）
12、用分别表示这4个人中选择题目的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）本题为二项分布模型，由题可知，选择题目的概率为，选择题目的概率为，则，所以这4人中恰有一人选择题目的概率为；（2）的所有可能取值为0，3，4，写出分布列，并求期望。试题解析：由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为，记“这4个人中恰有人选择题目”为事件，（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为.（2）的所有可能取值为0，3，4，且 ， ， .的分布列是所以.19. 如图1，在矩形中，点分别在边上，且，交于点，交于.现将沿折起，使得平面平面，得到图2.图1 图2
13、（1）在图2中，求证：；（2）在图2中，若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析；（2）点在线段的四等分点.【解析】试题分析：(1)先证明 ,再证明,证明平面,从而可得 ;(2)建立直角坐标系,设,求出平面、平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角的余弦值为,即可得出结论.试题解析：（）在矩形中，,， 即.在图2中，. 又平面平面，平面平面，平面， ，依题意，且，四边形为平行四边形., ， 又，平面， 又平面， .（）如图1，在中，.如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则，平面，为平面的法向量.设，则，设为平面的法向量，则即，可取，依题意，有，
14、整理得，即，当点在线段的四等分点且时，满足题意20. 已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得到，所以，写出椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理，.试题解析：（1）依题意，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，.椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，由解得，.设，则为定值.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.将代入整理化简，得.依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，.又，所以 .综上得为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则，为定值。21. 已知函数，.（1）若函数存在与直线
