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1、西方科學起源與歐氏幾何學 台東大學數學系 潘玉樹一般而言，我們常將古希臘時代區分為先蘇格拉底與柏拉圖、亞里斯多德時代。在先蘇格拉底時代，對數學及其發展最具有影響力的，就是畢達格拉斯所領導的畢氏學派。這個學派認為宇宙的本源是由“數”所構成，畢達格拉斯是第一個將正整數的性質當作一們獨立的學門來研究的人。相傳他有一次在街上，聽到打鐵店中鐵匠們用鐵鎚打鐵所發出悅耳、和諧的聲音，悟出了鐵鎚間簡單的正整數的比例，因此提出了“數”為宇宙本源的觀點。畢達格拉斯認為，萬物的本源是一，從一產生二，再產生出各種數目。從數目產生點，點生線，線生面，面生體，最後從體產生出感覺所及的一切形體。這個學派發現了句股定理、正整
2、數的不可共度性（即無理數的發現），他們也知道五種正多面體的存在，這些後來都成為幾何原本的重要內容。在蘇格拉底死後，希臘哲學的代表人物就是柏拉圖與亞里斯多德。柏拉圖主張，存在著兩個不同的世界。一個是物質的世界，這包含了地球及其上的萬物，通過感官我們能夠感覺到這個世界。另一個則是精神的世界，它是一個完美無缺的理念世界。依照柏拉圖的觀點，幾何學所討論的並不是物質性或感官性的東西，而是應當去重視像點、線、面、三角形、平行四邊形、圓等純抽象性、思維性的東西。亞里斯多德不認同他的老師柏拉圖理念的觀點，他認為在感官的世界裡，應重視萬物的實體與形式。他提出了四因說（即質料因、形式因、動力因、目的因）來解釋變化
3、，萬物的變化結果均可透過原因來解釋，而這個原因，又可經由更前面的原因來解釋。如此可一直向前追溯，但是原因不可能無限的倒退，所以亞里斯多德提出第一推動者（即最終原因）的理論。在柏拉圖與亞里斯多德生活的年代，是一個著重論辯的時期。在當時，一些演說者（或是遊說者）所面對的除了統治者外，常常還有一些群眾、市民。這些人中可能有自己的朋友、同事，甚或是自己的對手。因為在討論議題辯論的場合中，大家權利相等，如法庭的陪審制度，一人一選票，多數決定結果。此時遊說者面對的是一群人，其遊說導向是多方面的，同時要顧及到事情的正反面的反應，以免遭到對手可能的反擊。所以對修辭學的訓練特別注重，因此也產生了一些詭辯家。亞里
4、斯多德與柏拉圖儘管在一些觀點上不同，但它們都一致的堅持下列主張：即針對詭辯家與遊說者的論調，應該更進一步的去尋求永恆不變的真理。亞里斯多德更藉著邏輯、分析、演繹的方式，試圖去達到嚴格論證的證明境界，以得到絕對的真理、知識。在亞里斯多德的著作工具論中，包含了兩個主要部分，即前分析篇與後分析篇。在前分析篇中，他提出了著名的三段論理論。所謂三段論，就是指從前提必然可以得出結論的思維模式。在後分析篇中主要為討論證明的理論。綜觀這兩本著作，對於我們如何能獲得普遍性的知識而言，大致可歸納為以下幾點：1. 知識是通過證明而獲得的。2. 作為證明知識出發點的前提，必需是直接的、首要的。是先於結果，並且是結果的
5、原因。它們必定是最初的、不可證明的。3. 正確的證明不能無限倒退與循環論證。4. 正確的證明不能允許以未經證明的假定進行論證。5. 如果三段論的前提是普遍的，則這個證明的結論必定是永恆的。如果聯繫不是永恆的，那就沒有總體意義上的證明或知識。6. 關於偶然，沒有證明知識。科學知識不可能通過感官知覺而獲得。證明從普遍出發，歸納從特殊開始。但除非通過歸納，否則要認識普遍是不可能的。所以在這樣的背景之下，像幾何原本這樣由公理出發，藉著嚴密的邏輯推理與演繹方式，以建立幾何學理論的著作，自然會應運而生。歐基里德的生卒年不詳，他可能是柏拉圖學園裡的學生，亞里斯多德所奠定的邏輯基礎，以及建立科學知識的方法論原
6、則，應該對他產生重要的影響。他根據邏輯相關性的原則，先給出點、線、直線、平面等圖形的直覺上的定義，再衍生出二直線夾角、直角、平角、圓、直徑等概念的定義。在這些定義齊備後，他將前人對於一些圖形性質的研究成果，按照彼此間的因果關係，逐步追溯到最初的五個公設，再從這五個公設出發，以演繹的方法將幾何學的知識建立起來。這五個公設其實就是亞里斯多德所說的第一推動者（最終原因），因此幾何原本可說是在柏拉圖與亞里斯多德這種嚴格論證化概念下的一個標準示例。中國傳統的算學與希臘的幾何學有相當大的差異，中國傳統的算學對於圖形的研究主要表現在數量上的計算。我們從目前所知出土最早的算數書，經過唐代整理出的算經十書（即周
7、髀算經、九章算術、孫子算經、五曹算經、夏侯陽算經、張丘建算經、海島算經、五經算術、綴術（已失傳）、緝古算經），再到宋元及明朝中期的一些算學著作（如數書九章、測圓海鏡、算學啟蒙、四元玉鑑、九章算法比類大全、算法統宗）等，它們都是以長度、面積、體積等度量為對象，以代數計算為取向，而不注重圖形性質與位置關係的研究。以句股定理為例，在中國的傳統算學書中都是附屬在測量應用下的一個技術，不像在希臘幾何學中的重要地位。中國傳統算學的另一個特點，則是以問答的方式通過算籌的逐步演算，最終獲得答案。它常常注重直觀及使用實際數值的代入，因此常可將演算的程序設計得十分巧妙，而不像希臘幾何學注重普遍化的精神。幾何原本最
8、早的中譯本是明萬曆35年（西元1607年），由耶穌會教士利瑪竇與徐光啟合譯的。利瑪竇師事於日耳曼耶穌會教士與天文學家克拉維爾斯（C. Clavius），克拉維爾斯曾對西曆格里高列曆的制定有很大貢獻，他對歐基里德的幾何原本有自己的評注本。利瑪竇與徐光啟就是根據這個評注本，將前六冊翻譯出來而成，他們在一些言談文獻中所提到的丁先生，指的就是克拉維爾斯。徐光啟在體會出幾何原本的公理體系與演繹推理的優點後，又與利瑪竇合作編譯了介紹西方測量技術的測量法義。更進一步，徐光啟認為在傳統中國算學中有關句股術的論述，只能言其法，不能言其義。所以他希望用幾何原本與測量法義的基本定理，來解釋并補充中國傳統句股術的義，從而進行中西數學會通的工作。基本上，句股術是在傳統的中國製定曆法及水利工程的實踐中得到進展的，它乃是一種救時、救民的要術，因而應予以更新與發展。因此徐光啟與其門人孫元化根據中國歷代算學典籍中有關句股術的論述，歸納成正法十五條，並且完全使用幾何原本中證明定理的模式，證明在直角三角形的這十五個性質，在萬曆在萬曆37年（西元1609年）完成句股義這本書。句股義是中國第一本以西方幾何學的證明方式來論證句股術各種性質的書，他自然具有重大的歷史意義。3
