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1、小学五年级奥数教材：整数的整除问题一、基本概念和知识 1.整除约数和倍数 例如：153=5，637=9 一般地，如a、b、c为整数，b0，且ab=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作ba.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果ca，cb，那
2、么c（ab）。 例如：如果210，26，那么2（106）， 并且2（106）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。 例如：如果228，728，且（2，7）=1, 那么（27）28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果cb，ba，那么ca。 例如：如果39，927，那么327。 3.数的整除特征 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是
3、偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 能被5整除的数的特征：个位是0或5。 能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=180064，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为464，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：2937529000375，因为1000是8与125的倍数，所以2
4、9000是8与125的倍数.又因为125375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 例如：判断123456789这九位数能否被11整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是97531=25，偶数位上的数字之和是864220.因为25205，又因为115，所以11123456789。 再例如：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0.因为0是任何整数的倍数，所以110.因此13574是11的倍数。 能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例如：判断1059282是否是7的倍数？ 解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282777，又7777，所以71059282.因此1059282是7的倍数。 再例如：判断3546725能否被13整除？ 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725.
