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1、习题2-1. 质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：，分离变量，可得： 两边同时积分，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由 可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴OO上，并以恒定角速度在水平面上旋转设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)解：在绳子中距离转轴为r处
2、取一小段绳子，假设其质量为dm，可知：，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出： 。距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：2-3. 已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：再采取分离变量法可得： ，两边同时取积分，则：所以：2-4. 一质量为的质点，在平面上运动，受到外力(SI)的作用，时，它的初速度为(SI)，求时质点的速度及受到的法向力.解：由题意和牛顿第二定律可得：，代入
3、f与v，并两边积分， 速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，则2-5. 如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？ 解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：可得：2-6. 如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为： 可计算得到：此
4、时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为： 可计算得到：此时的 所以 2-7. 一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。放有一质量为m的物块，如图所示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度. 解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，M与m的运动有联系的，M沿地面运动，m沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m的运动为： （1） （2）M的运动方程为： （3）下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设
5、m在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：利用相对运动的公式，所以： 于是：即： （4）由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：2-8. 圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？解：受力分析如图 （1） （2） 两式相比 当 时 所以 稳定旋转时液面是一个抛物面由于旋转后成为立体，故方程变为【】2-9. 质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键
6、在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为： （1） （2）m1的运动方程为： （3）下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：利用相对运动的公式，所以： 于是：即： （4）由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：；zrO相互作用力N=2-10. 一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为，求：小环平衡时距杆端点的距离.解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式： 所以，可得：2-11. 设质量为的带电微粒受到沿方向
7、的电力，计算粒子在任一时刻的速度和位置，假定时，.其中为与时间无关的常数，、的单位分别为、.解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：，整理可得二阶微分方程：。令 下面分c为正负再做进一步讨论。当 ，可得： 一次求导，得到：当 ，可得： 一次求导，得到：2-12. 在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。 解：在法向上有 而 在切向上有 由上面三个式子可得 思考题2-1. 质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示设木板和墙壁之间的夹角为a，当a逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？解：
8、假设墙壁对小球的压力为N1，木板对小球的压力为N2。由受力分析图可知： 所以当所以增大，小球对木板的压力为N2将减小；同时： 所以增大，小球对墙壁的压力也减小。2-2. 质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：所以2-3. 如图所示，用一斜向上的力(与水平成30角)，将一重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数m的大
9、小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知： 整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即当 此式中F无论为多大，总成立，则可得：2-4. 质量分别为和的滑块和，叠放在光滑水平桌面上，如图所示、间静摩擦系数为，滑动摩擦系数为，系统原处于静止今有一水平力作用于上，要使、不发生相对滑动，则应取什么范围？解：根据题意，分别对A，B进行受力分析，要使A，B不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：可得：2-5. 如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计系统无初速地释放，则物体
10、A下落的加速度是多少？ 解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：则可计算得到：2-6. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？ (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B) 它的速率均匀增加。(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。(D) 它的合外力大小不变。(E) 轨道支持力的大小不断增加。在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都
11、在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。下滑过程中的和v都在增大，所以N也在增大，则E的说法正确。2-7. 一小珠可在半径为的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动当圆环以一适当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为，可列式： 所以，可得：2-8. 几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选(A)
12、60 (B) 45(C) 30 (D) 15解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为，可列式： 当=45。时，时间最短。2-9. 如图所示，小球A用轻弹簧与轻绳系住；小球B用轻绳与系住，今剪断绳和绳，在刚剪断的瞬间，、球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T，所以： 所以加速度大小为：，方向为水平方向。对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，的加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以： 所以加速度大小为：，方向为与绳垂直的切线方向。2-10. 两质量均为的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。 （1） （2）两式联立消去 13
