《2018学年江西省赣州市高三第一学期期末考试理科数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018学年江西省赣州市高三第一学期期末考试理科数学试题（解析版）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018届江西省赣州市高三第一学期期末考试理科数学试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，则，故选A。2. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，所以虚部是，故选D。3. 已知函数，则（ ）A. 0 B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】 ,选B.4. 若函数的部分图像如图所示，则和的取值可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，得，则，又，得，故选C。5. 设实数满足约束条件，则的最大
2、值为（ ）A. 2 B. C. 5 D. 6【答案】D【解析】作可行域,则的最大值为 ,选D.6. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，（1），（2），（3），（4），所以输出，得，故选C。7. 在中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为（ ）A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A【解析】，得，由余弦定理，即，所以的最小值为2。故选A。8. 的展开式中的系数为（ ）A. -1
3、60 B. 320 C. 480 D. 640【答案】B【解析】，展开通项，所以时，；时，所以的系数为，故选B。点睛：本题考查二项式定理。本题中，首先将式子展开得，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的的系数。9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，如图所示画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】B【解析】如图，可知最长的棱长为3，故选B。10. 双曲线的左右顶点分别为，右支上存在点满足（其中分别为直线的倾斜角），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，则，则，又，所以，则，即，所以，故选D。
4、11. 已知圆交轴正半轴于点，在圆内随机取一点，则成立的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，故选A。点睛：本题考查面积型的几何概型。由题可知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆内，所以重合部分就是所求的面积，通过几何方法解得， ，解得概率。12. 命题：关于的不等式（为自然对数的底数）的一切恒成立；命题：；那么命题是命题的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题：，令，则，则存在，满足，且在单调递减，单调递增，则，记，则，所以，所以命题是命题的必要不充分条件，故选C。点睛：本题考查命题之间的充分必
5、要关系。本题的题干为导数的应用。在本题中，首先分参，得到函数，通过求导我们可知无法求出具体的极值点，所以才去记根法，令，通过导数计算，得到答案。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若，则实数_【答案】【解析】由题意，则。14. 已知，其中为锐角，则的值为_【答案】【解析】15. 若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意，得，所以。16. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线且相交于点，则的面积的最小值为_【答案】【解析】由题意，设直线，联立，得，所以，当时，。点睛：本题考查
6、抛物线的双切线问题。双切线问题首先通过联立切线看出解得切线交点，三角形面积利用面积公式，求得底边和高，解得面积最小值。学+科+网.学+科+网.学+科+网.学+科+网.学+科+网.学+科+网.学+科+网.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和，满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由公式，解得，即，则数列是等比数列；（2），得试题解析：解：（1）由当时，得 当时， 得： 即且 故数列是首项为，公比为等比数列 （2）由（1）知： 故 点睛：本题考查数列的综
7、合应用。首先考查公式的应用，通过定义证明数列为等比数列，由裂项相消法求和。18. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且，.（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由线面平行的判定定理证明；（2）利用空间直角坐标系解题。试题解析：解：（1）(法一)连接交于点，连接由分别是棱中点，故点为的重心 在中，有 ，又平面 平面 （法二）取的中点，连接由是棱的中点，为的中点， 为的中位线，即平面 又为棱的中点，为的中点由，由，且为直三棱柱 ，进而得 ，即平面 又 平面平面 又平面 平面 （2）由为直三棱柱 平面，取的中点，连接 是棱的中点
8、， ，即平面 为等边三角形 为的中点 且 故以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系则， 设平面的法向量为则：，不妨取，则 设平面的法向量为则：，不妨取，则 记二面角为故二面角的余弦值为19. 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去0年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不足120的年份有30年，不低于120且不足160的年份有8年，不低于160的年份有2年，将年入流量在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求在未来
9、3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量的限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为500万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.【答案】（1）（2）应安装2台发电机【解析】试题分析：（1），由二项分布可知；（2）分别计算安装2台发电机的期望和安装3台发电机的期望，比较得应安装2台发电机试题解析：解：（1）依题意：，. 所以年入流量不低于120的概率为 由二项分布，在未来3年中，至多1年的年入流量
10、不低于120的概率为： （2）记水电站的总利润为（单位：万元）若安装2台发电机的情形：350010000 若安装3台发电机的情形：2000850015000 因为，故应安装2台发电机20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于），当直线的斜率不存在时，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）点恒在定直线上【解析】试题分析：（1）椭圆的方程为：；（2）设直线的方程为，联立方程得，得，故点恒在定直线上试题解析：解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为，由题意得： 所以椭圆的方程
11、为： (2)设直线的方程为，联立 由是上方程的两根可知： 直线的方程为：直线的方程为：得： 把代入得： 即，故点恒在定直线上21. 已知函数 在点处的切线与直线平行，且函数有两个零点.（1）求实数的值和实数的取值范围；（2）记函数的两个零点为，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】（1），且（2）见解析【解析】试题分析：（1）由切线求出，再由求导得到在单调递减，在单调递增， ，则且；（2）设，欲证，即证，只须证，记函数，通过求导分析得试题解析：解：（1）由，得：由 进而得，故当时，；当时，；所以函数在单调递减，在单调递增，要使函数在有两个零点，则 且（用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）
12、（2）由（1），我们不妨设 欲证，即证又函数在单调递增，即证 由题设，从而只须证 记函数， 则，记，得 因为，所以恒成立，即在上单调递增，又 所以在上恒成立，即在单调递减 所以当时，即 从而得 上恒成立，即在单调调递 所以当时，即 从而得请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），曲线（为参数）.（1）求直线与曲线的普通方程；（2）已知点，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）根据加减消元法得直线的普通方程；根据三角函数平方关系得曲线的普通方程（2）由椭圆的
13、定义知：，根据直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入曲线的普通方程，根据韦达定理可得结果试题解析：解：（1）由直线已知直线（为参数），消去参数得： 曲线（为参数）消去参数得：. （2）设将直线的参数方程代入得： 由韦达定理可得： 结合图像可知，由椭圆的定义知： .23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图像与直线所围成封闭图形的面积为8，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再求直线交点，最后根据梯形面积公式表示面积，根据面积为8
