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1、上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题一、填空题1. 若集合，集合，则 2.个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以为半径的圆，则该几何体的体积是 3.已知是虚数单位，则的平方根是 4.函数的反函数是 5.设满足约束条件，则的最小值是 6.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上、下底面上其余十六个点，则的不同值的个数为 7.数列满足，其前项和记为，若，那么 8.若是展开式中项的系数，则 9.设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则 10.已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 11.函数绕原点逆时针旋转，每旋转得到一个新的曲线，旋转一
2、周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是 12.已知两正实数，满足，则的最大值为 二、选择题13.关于的二元一次方程组，其中行列式为（ ）A B C D14.“要使函数成立，只要不在区间内就可以了”等价于（）A.如果，则 B.如果，则C.如果，则 D.如果，则15.参数方程 （为参数）所表示的函数是（）A.图像关于原点对称 B.图像关于直线对称C.周期为的周期函数 D.周期为的周期函数16.已知椭圆，直线，点，直线交椭圆于两点，则的值为( )A B C D三、解答题17.如图，在长方体中，.（1）证明直线平行于平面；（2）求直线到平面的距离.18.的
3、内角的对边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）若，求的周长19. （1）请根据对数函数来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义：若实数满足，则称比接近；若实数，且，满足，则称比接近；请你任
4、选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.20.已知数列和的通项公式分别为，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列；将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，求数列的通项公式.21.如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.（1）证明：的左焦点是“型点”；（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；（3）求证：内的点都不是“型点”.试卷答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 27. 38. 8 9. 10. 11. 12. 二、选择题13-1
5、6: CDCB三、解答题17. 解：因为为长方体，故，故为平行四边形，故，显然不在平面上，于是直线平行于平面，（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离设为 考虑三棱锥的体积，以面为底面，可得而中，故 所以，即直线到平面的距离为.18解：（1）由题意可得，化简可得，根据正弦定理化简可得：（2）由 由余弦定理又 所以故而三角形的周长为.19.解:，基本性质为：定义域：；值域：；单调减区间和 (判断奇偶性、周期性不予给分)(渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）（2）证明： 设 即证明完毕（3）采用定义（）: 而 所以甲同学的近似值更接近采用定义（）： 甲的估值 ，乙的估值因为，所以乙同学的近
6、似值更接近20解：（1 )设，则，即假设，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾，所以， （2） 数列的通项公式等价形式:，（3）令，由（2）得知：是等差数列当时，当时，当时，当时， 等价形式： 21解：（1）的左焦点为，过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；（2）直线与有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与有交点，则，若方程组有解，则必须 故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”（3）以为边界的正方形区域记为.1）若点在的边界上，则该边所在直线与相切，与有公共部分，即边界上的点都是“型点”；2）设是区域内的点，即，假设是“型点”，则存在过点的直线与都有公共点.)若直线与有公共点，直线的方程化为，假设，则，可知直线在之间，与无公共点，这与“直线与有公共点”矛盾，所以得到：与有公共点的直线的斜率满足.)假设与也有公共点，则方程组有实数解.从方程组得，由，因为 所以，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.证明完毕另解：令，因为，所以|，即.于是可知的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是，因为，所以在区间上为增函数，在上为减函数.因为，所以对任意，都有，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.证明完毕.
