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1、函数 函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,填空题解答题中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点:考查函数的表示法定义域值域单调性奇偶性和函数的图象.函数与方程不等式数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.函数概念(一)知识梳理1.映射的概念设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素
2、与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为 ,f表示对应法则2.函数的概念(1)函数的定义:设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为 (2)函数的三要素:定义域值域和对应法则3.函数的三种表示法:图象法列表法解析法(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示.4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.(二)考点分析考点1:映射和
3、函数的概念例1.若,则到的映射有 个,到的映射有 个,到 的函数有 个例2. 函数的图象与直线交点的个数为 个.考点2:判断两函数是否为同一个函数例1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1),; (2),(3),;(4),考点3:求函数解析式方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数二次函数),则用待定系数法;(2)若已知复合函数的解析式,则可用换元法或配凑法;(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1 已知二次函数满足,求例2.(09湖北改编)已知=,则的解析式可取为 题型2:求抽象函数解析式 例1.已知函数满足,求考点
4、4:求函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围,实际操作时要注意: 分母不能为0; 对数的真数必须为正; 偶次根式中被开方数应为非负数; 零指数幂中,底数不等于0; 负分数指数幂中,底数应大于0; 若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集; 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写.例1.(08年湖北)函数的定义域为_.题型2:求复合函数和抽象函数的定义域例1.(2007湖北)设,则的定义域为_.例2 已知函数的定义
5、域为,求的定义域.例3 已知的定义域是,求函数的定义域.例4.已知的定义域是(-2,0),求的定义域.考点5:求函数的值域1 求值域的几种常用方法(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,如求函数,可变为解决(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数就是利用函数和的值域来求.(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域.如求函数的值域(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域. 如求函数的值域.(5)换元法:运用换元法时,要特别要注意新元的范围.的值域为_. 的值域为_.(6)数形结合法.已知点在圆上,求及的取值范围.(7)导数法一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值.(8)对勾函数法 像y=x+,(m0)的函数,m0 a0a0在上递减;在上递增在上递增;在上递减图象图象特点 (1)对称轴: (2)顶点:3三个“二次”之间的关系:二次函数一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的关系,运用函数
