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1、一类特殊多项式系统的结式矩阵The resultant matrix for a special polynomial system摘 要本文是研究一类特殊多项式系统的结式矩阵。主要证明了：从双次数矩形支集的4个角上分别切去4个矩形子支集时，-结式Dixon矩阵公式仍然成立。首先给出了一些基本的概念和3个双次数多项式的Dixon矩阵；然后把论文的主要结论以定理的形式正式给出，定理的证明分为3部分：第一部分证明了当角上切去的矩形子支集中的单项式系数为0时，相应的行与列为0；第二部分证明了去掉的零行与零列之后，剩下的矩阵为方阵且它的元素仍是Dixon系数矩阵中的元素，这样就得到的子矩阵就是；第三部
2、分证明了，且它与-结式有相同的阶数，因此就是多项式支集为的的-结式；最后通过例子验证这些结论。关键词：Dixon矩阵；多项式支集；-结式ABSTRACTThis paper studies the resultant for a special polynomial system. It prove that the Dixon matrix formulation for -resultants survives when four corner rectangular sub-supports are cut off from the bi-degree rectangular suppo
3、rt .First, it has defined some notations and terminologies and presented the Dixon resultant formulation for three bi-degree polynomials in two variables. Then it states the main result of the paper formally as a theorem. The proof of the theorem is divided into three parts. Part 1 identifies the ze
4、ro rows and columns of the Dixon coefficient matrix. Part 2 ensures that the required number of non-zero rows and columns remain in the Dixon coefficient matrix. Part 3 asserts that the determinant of is non-zero and has the right degree, thus it is the -resultant for whose monomial support is . Las
5、t, it illustrates the various results with examples.Key Words：Dixon matrix; monomial support; -resultant 目 录绪 论11预备知识31.131.2 矩阵与行列式31.3 多项式32 经典双次数Dixon结式53 Dixon -结式74 矩形切角引起的零行和零列94.1 因式分解定理94.2 矩形的右上切角问题94.3 矩形的左上切角问题114.4 矩形的左下切角问题114.5 矩形的右下切角问题125 经矩形切角后的非零子矩阵135.1括号的行支集和列支集135.2 的非零行与非零列146
6、Dixon矩阵的行列式就是-结式177 举例说明188 结 论219 参考文献22致 谢24翻译原文25中文翻译31绪 论结式方法是消去法中的一种重要工具，在代数几何、自动几何定理证明、CAD/CAM、CAGD、计算机代数、计算机视觉、机器人和虚拟现实中有着广泛而深远的应用。所谓的结式，就是一个多项式，它由原多项式系统的系数所构成，它等于零的充分必要条件是原多项式系统存在公共根。正因如此，结式方法的优异，除了它的快速消元能力之外，还在于它能判定一个多项式系统是否有解。有了这个工具，我们就可以在求解之前先判定这个多项式系统是否有解，而不会碰到经过数天的计算之后，结果无解的情况出现,所以结式对于解
7、多项式方程组也是一个很有效的工具。由于多项式的支集与结式有着密切的关系，因此研究支集的缺失情况则对结式矩阵最后的规模有着重要的意义，其中切角问题(corner-cutting)被认为是最关键的问题。在多项式的支集构成的牛顿多面体中，内部点的缺失(对应着某些单项式在多项式中的缺失)不会影响整个Dixon结式矩阵的大小和奇异性，但是会影响所对应的曲面的次数，而位于四个角的点的缺失，则会影响结式矩阵的大小、退化性等问题。在这方面，Chionh 证明了对于非混合双变元多项式系统，如果位于四个角的缺失部分为矩形，也就是所谓的rectangular corner-cutting 的情况下，Dixon结式矩
8、阵不会产生多余因子。以往，个元多项式方程组的结式是一个多项式方程，此方程组的系数满足多项式方程当且仅当此方程组在维射影空间中有解。这样一个结式可以表示为一个Macaulay商式，但是对于特殊情况有更好的方法。对于个元线性方程，阶系数矩阵的行列式是结式。对于2个一元方程，它的结式可以通过Sylvester (西尔维斯特)法或Bezout (贝祖)法求得。经典结式考虑总次数不超过一个特定值的所有单项式；而-结式考虑的是构成多项式的单项式。Dixon构造了3个二元方程的一个结式：他是通过把Cayley多项式 扩展为Dixon多项式，其中Cayley多项式考虑的是两个一元多项式，而Dixon多项式考虑
9、的是3个关于，的双次数多项式，。然而Cayley多项式的系数矩阵给出一个关于总次数构形的经典结式，Dixon多项式的系数矩阵给出关于双次数构形的-结式。事实上，可以通过从一个总次数为的多项式中去掉某些适当的单项式，而得到一个双次数为的多项式。E.W. Chionh讨论了Dixon结式矩阵中项的表达式，有了这个公式，不用计算整个Dixon矩阵，就可以知道某个位置的项是什么。在文献5中另外一种公式也可以求出Dixon结式矩阵中的项，该公式计算简单，并且可以证明Dixon结式矩阵中的一些性质。1908年A. L. Dixon综合前人的结果，对由三个双变元多项式构成的多项式系统给出了三种结式的构造方法
10、，分别是基于Sylvester与Cayley 的方法，以及两者的混合方法。由于双变元多项式系统有更实际的背景，因此对相应的Dixon结式矩阵的研究也很多。本文主要基于Cayley quotient方法，求多项式的支集为的3个双次数多项式的Dixon结式矩阵，以及在rectangular corner-cutting 的情况下，求解并讨论-结式。论文首先根据论文需要给出了一些基本的概念、术语；第2节给出了和双次数多项式的Dixon结式矩阵的定义，并且给出Dixon结式矩阵中项的表达式；第3节把论文的主要结论以定理的形式正式给出,这就是论文的核心部分(定理3.1)，这个定理共有三个结论，因此接下来
11、我们将定理的证明分为三个部分.第4节证明了Dixon系数矩阵的零行和零列，即：当从的多项式支集四个角上分别切去四个矩形子支集时，的行支集和列支集也是对应的从其支集、的四个角上切去形状相同的四个矩形子支集(在这里，从、切去的子支集与的形状完全相同，只是在位置上有一个平移)，由于对，有，因此中对应的行与列均为0；第5节证明了去掉的个零行与个零列之后(其中)，剩下的矩阵是个方阵且它的每个向量均非零；第6节证明，且的次数与-结式的次数相等，因此就是我们所要的-结式。第7节通过一个例子将定理3.1的内容进行了验证。1预备知识这节给出的一些术语和概念与第2节定义的Dixon公式密切相关。1.1集合定义1.
12、1 整数的集合记为。集合的基数记为。定义1.2 令2个集合的差为。如果，从中去掉就得到；并且记：.定义1.3 如果，则。对，到的连续的整数集记为，且若，则.定义1.4 如果，两个连续的整数集的笛卡尔积记为：，且若或，则.1.2 矩阵与行列式一个方阵的行列式为.矩阵的零行（或列）是指这个行（或列）的元素的值全为0.1.3 多项式称为关于变量双次数为的多项式，如果关于的次数分别为.即:.的多项式支集是指的单项式指数向量的集合(其中是的一个单项式)，也就是说是的一项（若）.如果一个一般的多项式关于的双次数为，那么它的多项式支集记为： (1-1)很显然，是平面上的一个矩形点列。的多项式支集的凸包称为的
13、牛顿多面体。例如：，它的多项式支集和牛顿多面体如图1-1所示。图1-1.双次数为的多项式的多项式支集与牛顿多面体对于3个一般的双次数多项式， (1-2)定义： ，称此3阶行列式为括号.在不致引起混淆的情况下，为了节省空间，简记：例如：.2 经典双次数Dixon结式在这节中，主要介绍3个二元多项式方程的经典Dixon结式的构造过程。设3个多项式 (2-1)其中为的多项式支集，显然.下面我们就给出的Dixon多项式的定义：定义2.1 (2-2)当或时的分子为0，所以分子可以被分母整除，这也就意味着是关于的一个多项式。接下来我们就主要研究的矩阵形式： (2-3)其中系数矩阵称为多项式的Dixon矩阵
14、；单项式和分别称为的行标和列标。而的计算公式由下式给出：定义2.2 行标的指数向量集记为：称之为的行支集。列标的指数向量集记为：称之为的列支集。由于 的分子 (2-4)所以中的值关于的每个系数都是线性的。在此我们将，相应地简记为，.很显然，关于的次数分别为.也就是说 ， (2-5)并且我们可以得到：，因此是一个阶的方阵。当时，行列式就是的经典Dixon结式。例如：3 Dixon -结式这节的主要内容就是介绍下面的这个定理：定理3.1 设的左下角、右下角、左上角、右上角的矩形子支集依次为： (3-1)若的多项式支集为，则有以下3个结论成立：(1).的行支集为， (3-2)列支集为. (3-3)(2). (3-4)(3). 是方阵且其行列式是的-结式。其中： (3-5)且 (3-6)注：如果或，则；同理如果或，则；如果或，则；如果或，则.换句话说，定理是指如果将从其四个角上分别切去一个矩形子支集得到，那么和可以相应地从和对应角上切去相同的矩形而得到(见图3-1) 图3-1.利用的切角方法从、中对应角上切去同样的矩形。注：和，和，和分别是，的转化形式。
