《考研数学拓展班第2讲：连续,导数与微分2014.3.19》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学拓展班第2讲：连续,导数与微分2014.3.19（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,4 连 续,1连续的概念,(1) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处右连续,(2) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处左连续,第二讲 连续，导数与微分,若,则称函数,2,2连续性的重要结论,f (x) 在 x0 处连续 f (x) 在 x0 处左连续且右连续,(2) 连续性的四则运算法则,如果 f (x)、g(x) 在 x0 处连续 ,则,在 x0 处也连续,(1) 连续的充要条件,处连续，,反之不成立。,3,(3) 复合函数的连续性:,如果 u= (x) 在 x0 处连续 , y = f (u) 在 u0 ( u0= (x0),处连续 , 则 y = f (x) 在 x0 处连续
2、 ,即连续函数的复,合在其定义区间上连续.,(4) 反函数的连续性:,(5) 初等函数的连续性:,一切初等函数在其定义区间上连续.,4,例1,设, 试确定 a , b,使 f (x) 在 x = -1 处连续,解,5,例2,解,(2) f (x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.,试分别举出具有以下性质的函数 f(x) 的例子：,6,3函数的间断点,间断点: f(x) 的不连续点称为间断点,振荡,同时存在,可去,跳跃,无穷,至少有一个不存在,第 二 类,7,例3,讨论函数 的连续性.,解,为两个间断点.,可知 是第二类间断点,可知 是跳跃间断点.,8,4闭区间上的连续函数性质,(1) 最值定理
3、,(2) 介值定理,(3) 零值定理,9,解,据介值定理，存在(x1, xn) (a , b) ,使,10,例5,解,对任意的实数 r ( 0 r 1) ,设,则 F (x) 在0,1r上连续，且,若 f (r)=0 , 则 x0= 0 ,若 f (1r)=0 , 则 x0= 1r 即可,11,5 导 数,1导数的概念,(1) 导数的定义:,(2) 左、右导数的定义:,左导数：,类似可定义右导数：,12,(3) 导数的几何意义,表示曲线在点 （x0 , f(x0) 处的切线斜率,(4) 高阶导数,即,13,(5) 微分,称为 f(x) 在 x0 处的微分 , 记为,此时必有,所以有,14,(1
4、) 可导与可微的关系,f (x) 在 x 处可微 f (x) 在 x 处可导,2重要关系和结论,(2) 可导与连续的关系,若 f(x) 在 x0 处可导 ，则在x0处必连续，反之不然,(3) 可导与左、右导数的关系,15,3举例,例6 99-3,其中g(x) 是有界函数 , 则f(x) 在x=0处,极限不存在；,（B）极限存在，但不连续；,（C）连续，但不可导；,（D）可导。,16,求,解,17,例7 05-4,解,（A）处处可导；,（B）恰有一个不可导点；,（C）恰有两个不可导点；,（D）至少有三个不可导点。,C,18,解,当 时，,对于 ，,19,由 知 f (x) 在 x = 0 处不可
5、导,所以,20,解,由不等式知 f (0) = 0，,利用夹逼定理得,所以 f (x) 在 x = 0 处连续,再由,利用夹逼定理,选 ( D ),21,例10 07-4,设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是（ ）,D,22,23,例11 01-3,设f(0)=0, 则f(x)在点x=0可导的充要条件为（ ）,B,24,反例,在x=0处不可导，但上式极限存在。,25,例12,f(x)可导，求F(x)。,解,26,6 导数的计算方法,1求导法则,(1) 求导的四则运算法则,设 f(x) , g(x) 在 x 处可导 , c 为常数, 则,27,(2) 复合函数求导法则,设 y=f(u)
6、 在 u 处可导 , u = g(x) 在 x 处可导 ,则 f(g(x) 在 x 处可导 , 且有,(3) 反函数求导法则,即,28,解,解,29,解,30,解,31,解,将方程两边对 x 求导,解得,32,(4) 求导公式,1) 参数方程求导公式:,1) x=x(t) 严格单调 , 连续且有导数,2) y=y(t) 可导 , 则有,设 , 满足,33,2) 变限积分函数的求导公式:,设 f (t) 为连续函数 , 1(x) , 2(x) 可导 , 则,3) n 阶导数的求导公式:,设函数 u(x) , v(x) n 阶可导 , 则有,( 莱布尼兹公式 ),34,解,35,解,36,又由,所
7、以,37,解,(1),归纳法可得,38,(2),39,解,利用莱布尼茨公式有,40,(5) 微分公式,设 u , v 可微 , c 为常数 , 则有,(6) 一阶微分形式的不变性,不论 u 是自变量还是中间变量 , 都有,(7) 对数求导法,41,解,在等式两边取全微分得,解得,42,例23 06-4,设函数y=f(x)具有二阶导数，且,解1,由几何意义画图即可得A。,43,例24 06-4,设函数y=f(x)具有二阶导数，且,解2,解3,44,解,两边取对数有,两边对 x 求导得,45,备例1 下列函数中, 在定义域上连续的函数是 ( ),解,在 处， 为初等函数，所以连续,所以选 (B),46,任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,备例2,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,47,解,
