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1、 海量资料 超值下载导数及其应用内容要求ABC导数的概念导数的几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用*简单的复合函数的导数1. 导数是高中数学中的重要内容,是解决实际问题的强有力的数学工具.高考对导数的考查也主要是突出它的“工具性”,即考查应用导数的知识、方法解决相关问题的能力.重点考查的内容包括导数的概念和计算及一些简单的应用,在考查的过程中注重与应用问题相结合,不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明.2. 在近几年的高考中,对导数知识的考查由浅入深,已成为每年必考的知识点.若以填空题的形式出现,应是基础题,难度不大;但若以解答题的形式出现,应属综合题,不排除将
2、导数知识与解析几何、立体几何(如2011年高考江苏卷第17题、2013年高考重庆文科卷第20题就考查了导数与立体几何相结合的问题)、函数的单调性(如2013年高考江苏卷第20题就考查了利用导数来确定含参函数的单调性问题)、极值、最值,二次函数,方程,不等式(如2014年高考江苏卷第19题就考查了导数与含参不等式恒成立相结合的问题),代数证明等知识进行交汇、综合.3. 从这几年的高考来看,导数的常考题型有:简单的函数求导(若是复合函数仅限于形如f(ax+b)的形式的函数求导)和利用导数的几何意义解决曲线斜率、倾斜角及切线的有关问题.其中“函数y=f(x)在x=x0处的导数即表示曲线在点P(x0,
3、 f(x0)处的切线斜率”是最常考的几何意义之一(如2014年北京卷第20题,福建卷第22题,广东卷第11题就考查了导数的几何意义).应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,应用导数求函数的极值和最值等.这里的函数若是多项式函数,则它的次数要求不超过三次(如2011年江西理科卷第19题,就考查了利用导数来解决三次函数的单调性问题及求函数最值问题).应用导数解决实际问题,即从实际问题出发,建立函数模型,解决实际问题(如2013年重庆文科卷第20题就考查了利用导数来求实际问题的最值).1. 复习这部分知识时应强化以下几个基本思想:(1) 数形结合思想:复习本章时,要注意无论是导数概念的建立、利
4、用导数的几何意义求过曲线上的任意一点的切线方程,还是解决函数的单调性、极值、最值问题,利用定积分求平面图形的面积问题,都是借助图形来帮助理解或解决的,因此本章自始至终都贯穿了数形结合的思想.(2) 极限思想:导数的引入源于“局部以直代曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限思想.在研究导数概念时,先是“局部以直代曲”研究平均变化率,进而“由近似到精确”研究瞬时变化率,从而导出导数的概念.(3) 分类讨论思想:分类讨论思想也应贯穿本章复习的始终,在研究函数的平均变化率、瞬时变化率、在点x0的导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及最优化问题中无不蕴含着分类讨论思想.许多热点
5、问题中也蕴含着分类讨论的思想,如在解决由已知函数的单调性确定参数范围问题时,一般将问题转化为不等式的恒成立问题,再经过分类讨论求得参数的范围.(4) 化归与转化思想:求函数的极值、最值、单调性、过点x0处的切线方程等都是一种程序化的运算过程.在解决相关问题时只需将问题转化到上述问题,就可按程序进行解决.2. 复习这部分知识时还应注意:(1) 在复习时要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率,解决函数的单调性、极值、最值等方面的作用,这种作用不仅体现在为解决函数问题提供了有效的途径,还在于让我们掌握一种科学的语言和工具,能够加深对函数的理解和直观认识.(2) 要重视导数与解析几何(特别是切线、最
6、值),导数与函数的性质(特别是单调性、极值、最值),导数与方程、不等式、代数式的证明等知识进行交汇、综合运用的题.(3) 应以课本为主,夯实基础,注重课本的例习题的改编.第17课时导数的概念及几何意义内容要求ABC导数的概念导数的几何意义1. 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义,了解导数概念的实际背景,理解导数的概念.2. 理解导数的几何意义,会求简单函数的导数和曲线在一点处的切线方程.3. 导数的几何意义是高考的重点、热点,具体考查时往往体现在求曲线的切线方程、切线的斜率等.因此,复习时应在求导数、导数的几何意义等方面多下功夫.(第1题)1. 一般地,函数f(x)在区间x1, x2上的平
7、均变化率为,即它是函数值的改变量y与相应的自变量的改变量x的比;如图,平均变化率的几何意义是过点(x1, f(x1)及点(x2, f(x2)的割线的斜率.2. 设函数y=f(x)在区间(a, b)上有定义,x0(a, b).当x无限趋近于0时,比值=趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0).3. 若f(x)在区间(a, b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,也可简称为f(x)的导数,记作f(x).4. 导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)
8、在点(x0, f(x0)处的切线的斜率.5. 一般地,设s=s(t)是运动物体的位移函数,那么s(t)的物理意义是运动物体在t时刻的瞬时速度v(t);设v=v(t)是运动物体的速度函数,那么v(t)的物理意义是运动物体在t时刻的瞬时加速度a(t).1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,则该婴儿从第6个月到第12个月体重的平均变化率为0.4kg/月.(第1题)(第2题)2. 如图,曲线y=f(x)在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+3f(5)=0.3. 一质点的运动方程为s=t2+10(位移单位:m,时间单位:s),则该质点在t=3s时的瞬时速度为6m/s.4. 已知曲线y
9、=f(x)在x=-2处的切线的倾斜角为,则f(-2)=-1,f (-2)=0.5. 曲线y=x2的一条切线的斜率是-4,则切点的坐标为(-2, 4).6. 球半径以2cm/s的速度膨胀,当半径为5cm时,表面积的变化率是80cm2/s.1. 理解平均变化率、瞬时变化率的联系与区别(例1)例1如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,水以20cm3/s的流量倒入杯中,当水深为4cm时,水升高的瞬时变化率为cm/s. (结果保留)(本题改编自选修2-2P17习题1.1第13题、选修1-1P68习题3.1第13题)点拨一要求水升高的瞬时变化率,先得求出杯中水高度的变化量h,再求出,当t
10、0时,比值趋近的常数值即为水升高的瞬时变化率.解本题的另一个关键在于弄清“水流量为20cm3/s”的含义.解法一设ts时,水面半径为rcm,水深为hcm,则=,于是r=h.若此时杯中水的体积为Vcm3,则V=r2h=h3,于是V=(h+h)3-h3=3h2(h)+3h(h)2+(h)3,=3h2+3h(h)+(h)2.当t0时,若记水升高的瞬时变化率为ht,则ht.又水流量为20cm3/s,因此当t0时,20.于是有20=3h2ht,当h=4时,解得ht=cm/s.反思理解平均变化率与瞬时变化率的联系和区别是解本题的关键.设函数y=f(x)在x0处及附近有定义,当自变量x在x0附近的改变量为x
11、时,函数值相应地改变y=f(x0+x)-f(x0),则称作y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率;当x0时,平均变化率趋近一个常数A,则常数A为函数f(x)在x0处的瞬时变化率.点拨二当t0时,增加的水的体积可用圆柱的体积来近似计算.解法二当水面高度为4cm时,可求得水面半径为cm.设水面高度增加h时,水的体积增加V,从而V(h)(用圆柱体积近似表示增加的水的体积),所以.当t0时,得20=ht,解得ht=cm/s.反思在研究导数概念时,先是“局部以直代曲”研究平均变化率,进而“由近似到精确”研究瞬时变化率,从而导出导数的概念,这种极限的思想在解题中有着重要作用.如本
12、例的解法二简洁、明了,让人耳目一新.2.利用导数的几何意义解决曲线斜率、倾斜角及切线的有关问题例2(1) 设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为;(2) (由2010年江苏卷改编)函数y=x2(x0)的图象在点(ak, )处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数.若a1=16,则该函数图象在点P(a5, )处的切线方程为.点拨第(1)题已知切线倾斜角的取值范围,从而可确定切线斜率的取值范围.不论是(1)还是(2)中曲线上点x=x0处的切线斜率均为f(x0),从而将切线的斜率与切点的横坐标x0联系起来求解.解(1) 设切点
13、P的横坐标为x0,又y=2x+2,所以切线的斜率y=2x0+2=tan(为点P处切线的倾斜角).又因为,则0tan1,即02x0+21,所以x0.(2) 因为y=2x,所以函数图象在点(ak, )处的切线的斜率y=2ak,此时切线方程为y-=2ak(x-ak).令y=0,解得x=.由题知ak+1=,因此数列an是以a1=16为首项、为公比的等比数列,于是a5=a1=16=1,故点P的坐标为(1, 1),在P处切线的斜率为2a5=2,于是切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.反思求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于确定切点P的坐标(x0, y0)及切线的
14、斜率.在这基础上有:若P(x0, y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).此时,特别要注意:斜率f(x0)中的x0必须是切点的横坐标;若曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.例3已知曲线y=x3+.(1) 求曲线在点P(2, 4)处的切线方程;(2) 求曲线过点P(2, 4)的切线方程;(3) 求满足斜率为1的曲线的切线方程.点拨(1) 求导数求切线斜率写切线方程(2) 设切点求切点坐标写切线方程(3) 设切点由k=1求切点坐标写切线方程解(1) y=x2, 曲线在点P(2, 4)处的切线的斜率k=y|x=2=4, 曲线在点P(2, 4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2) 设曲线y=x3+与过点P(2, 4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=y=, 切线方程为y-=(x-x0),即y=x-+. 点P(2, 4)在切线上, 4=2-+,即-3+4=0, +-4+4=0, (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3) 设切点坐标为(x0, y0),故切线的
