2018-2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式章末复习课件 北师大版选修4-5

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1、第一章 不等关系与基本不等式,章末复习,学习目标 1.梳理本章的重要知识要点,构建知识网络. 2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用,尤其注意等号成立的条件. 3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握,进一步熟练绝对值不等式的应用. 4.熟练掌握不等式的证明方法.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.实数的运算性质与大小顺序的关系:abab0,abab0,abab0,由此可知要比较两个实数的大小,判断差的符号即可. 2.不等式的4个基本性质及5个推论. 3.绝对值不等式 (1)绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号,把含绝对值的不等式转化为一元一次不

2、等式或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有: 根据绝对值的定义; 分区间讨论(零点分段法); 图像法.,(2)绝对值三角不等式 |a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离,|ab|的几何意义表示数轴上两点间的距离; |ab|a|b|(a,bR,ab0时等号成立); |ac|ab|bc|(a,b,cR,(ab)(bc)0时等号成立); |a|b|ab|a|b|(a,bR,左边“”成立的条件是ab0,右边“”成立的条件是ab0); |a|b|ab|a|b|(a,bR,左边“”成立的条件是ab0,右边“”成立的条件是ab0).,4.平均值不等式 (1)定理1:若a,bR,则a2b22ab(当且仅

3、当ab时取“”).,5.不等式的证明方法 (1)比较法.(2)分析法.(3)综合法.(4)反证法.(5)几何法.(6)放缩法.,题型探究,类型一 绝对值不等式的解法,例1 解下列关于x的不等式. (1)|x1|x3|;,解答,解 方法一 |x1|x3|, 两边平方得(x1)2(x3)2,8x8,x1. 原不等式的解集为x|x1. 方法二 分段讨论: 当x1时,有x1x3,此时x; 当1x3时,有x1x3, 即x1, 此时1x3; 当x3时,有x1x3,x3. 原不等式解集为x|x1.,(2)|x2|2x5|2x.,解答,原不等式变形为2x2x52x,解得x7,,当x2时,原不等式变形为x22x

4、52x,,反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.这种方法通常称为零点分段法.,跟踪训练1 已知函数f(x)|xa|,其中a1. (1)当a2时,求不等式f(x)4|x4|的解集;,解答,当x2时,由f(x)4|x4|,得2x64,解得x1; 当2x4时,f(x)4|x4|无解; 当x4时,由f(x)4|x4|,得2x64,解得x5. 所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5.,(2)已知关于x的不

5、等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.,解答,解 记h(x)f(2xa)2f(x),,又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,,类型二 不等式的证明,证明 abcd, ab0,bc0,cd0,,证明,反思与感悟 不等式证明的基本方法是比较法,分析法,综合法,在证明时注意对所证不等式恰当分组,选择适当的方法进行证明.,跟踪训练2 已知a,b,cR,且abbcca1,求证:,证明,因此只需证(abc)23, 即证a2b2c22(abbcca)3, 根据条件,只需证a2b2c21abbcca,,证明,abbcca1,,原不等式成立.,类型三 利用平均值不等式求最值,例3 已知

6、x,y,zR,x2y3z0,则 的最小值为_.,答案,解析,3,当且仅当x3z时取“”.,反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型 (1)当和为定值时,积有最大值. (2)当积为定值时,和有最小值,在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.,答案,解析,4,类型四 恒成立问题,例4 设函数f(x)|x1|x4|a. (1)当a1时,求函数f(x)的最小值;,解答,解 当a1时, f(x)|x1|x4|1|x14x|14, f(x)min4.,综上,实数a的取值范围为(,0)2.,解答,反思与感悟 不等式恒成立问题,通常是分离参数,将其转化为求最大

7、、最小值问题.当然,根据题目特点,还可能用变更主次元、数形结合等方法.,跟踪训练4 已知f(x)|ax1|(aR),不等式f(x)3的解集为x|2 x1. (1)求a的值;,解答,解 由|ax1|3,得4ax2, f(x)3的解集为x|2x1, 当a0时,不合题意.,a2.,|h(x)|1, k1,即k的取值范围是1,).,解答,达标检测,1,2,4,3,5,解析 正确,c1,lg c0; 不正确,当0c1时,lg c0; 正确,2c0;,1.给出下列四个命题: 若ab,c1,则alg cblg c;若ab,c0,则alg cblg c; 若ab,则a2cb2c;若ab0,c0, 其中正确命题

8、的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,A. B. C. D.,2.设a,b为正实数,以下不等式恒成立的是,解析 不恒成立,因为ab时取“”; 恒成立,因为a,b均为正数; 不恒成立,当a2,b1时,a2b25,4ab3b25,a2b24ab3b2.,1,2,4,3,5,答案,解析,1,2,4,3,5,A.abc B.cba C.cab D.bac,答案,解析,1,2,4,3,5,98,ba.,3553,bc.,3225,ac. bac,故选C.,1,2,4,3,5,原不等式的解集为(2,0).,解答,1,2,4,3,5,5.若不等式|xa|x2|1对任意实数x恒成立,求实数a的

9、取值范围.,解答,解 设y|xa|x2|,则ymin|a2|. 因为不等式|xa|x2|1对任意xR恒成立. 所以|a2|1,解得a3或a1.,1.本章的重点是平均值不等式、绝对值不等式和不等式的证明方法.要特别注意含绝对值不等式的解法. 2.重点题型有利用不等式的基本性质、平均值不等式、绝对值不等式证明不等式或求函数最值问题;解绝对值不等式. 3.重点考查利用不等式的性质、平均值不等式求函数的最值,含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题. 4.证明不等式的基本方法及一题多证:证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.证明不等式时既可探索新的证明方法,培养创新意识,也可一题多证,开阔思路,活跃思维,目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力,提高数学素养.,规律与方法,本课结束,

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