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1、湖南师大附中20182019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.不等式x25x60的解集是A. x|2x3 B. x|3x2C. x|2x3 D. x|3x2【答案】C【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到答案.【详解】不等式x25x60等价于（x-2）(x-3)0,根据二次函数的性质得到，解集是(2，3)，故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，
2、但要注意检验集合是否满足元素的互异性2.在等差数列an中，若a5，a7是方程x22x60的两根，则an的前11项的和为A. 22 B. 33 C. 11 D. 11【答案】D【解析】【分析】a5，a7是方程x22x60的两根,则a5a72, S11=11 a6进而得到结果.【详解】等差数列an中，若a5，a7是方程x22x60的两根，则a5a72，a6(a5a7)1，an的前11项的和为S1111a611111.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.3.
3、在ABC中，c，A75，B45，则ABC的外接圆面积为A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得2R，解得R1，故ABC的外接圆面积SR2.【详解】在ABC中，A75，B45，C180AB60.设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R，解得R1，故ABC的外接圆面积SR2.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中
4、如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围5.若，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则
5、 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可【详解】A取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B取c=0，显然不成立，C取a=-3，b=2，显然不成立，D根据不等式的基本性质，显然成立，综上可得：只有B正确故选：D【点睛】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题6.在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】在ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2a2b22abcosC，得139b223b，即b23b40，解
6、得b1(负值舍去)，即AC1.故选A.7.已知数列an满足：a113，a6a82，且an12anan1(n2)，则数列的前13项和为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题干变形可得到数列an为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可.【详解】an12anan1(n2)，可得an1ananan1，可得数列an为等差数列，设公差为d，由a113，a6a82，即为2a112d2，解得d2，则ana1(n1)d2n15.，即有数列的前13项和为 .故选B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般
7、是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分8.在ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin Asin Bsin C654，则sin B_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理可得到三边的比例关系，再由余弦定理得到角B的余弦值，进而得到正弦值.【详解】sin Asin Bsin C654，abc654，不妨取a6，b5，c4，则cos B，B(0，)则sin B.故答案为：.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有
8、时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答9.将等差数列1，4，7，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是_【答案】577【解析】【分析】由等差数列的特征得到等差数列的通项公式,再根据三角形数阵的特点找出第20行3列的数代入公式计算即可.【详解】由题意可得等差数列的通项公式为，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为：,过数阵中第20行3列的数是数列的第193项，中.
9、【点睛】本题考查学生的观察能力以及数列的简单知识.本题解题的关键是找到三角形数阵中数排列的规律.10.若x，y均为正数，且9xyxy，则xy的最小值是_【答案】16【解析】【分析】根据题意，若9xyxy，则有1, 则xy(xy) 10再由均值得到结果.【详解】根据题意，若9xyxy，则有1，则xy(xy) 1010216，当且仅当时，等号成立，即xy的最小值是16，故答案为16.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.三、解答题：(本大题共4个小题，共50分
10、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)11.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值，并判断当最大时的形状【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知条件等式，然后利用三角形内角和定理求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据三角形的面积公式得到三角形面积与间的关系式，然后利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，从而求得的面积的最大值，进而判断出三角形的形状试题解析：（1）(2)由题可知，此时三角形为等边三角形考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和的正弦公式；4、基本不等式12.制订投资计划时
11、，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？【答案】4,6【解析】试题分析：(1)含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，解题时要注意题目中的各种制约的关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数；（2）平面区域的画法：线定界、点定线（注意实虚线）；(3)求最值：求二元一次函数的最值，将函数
12、转化为直线的点斜式，通过求直线的截距的最值间接求出的最值，最优解在顶点或边界取得.试题解析：解：设分别向甲、乙两组项目投资万元，万元，利润为万元由题意知目标函数作出可行域作出可行域作直线，并作平行直线的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点点，且与直线的距离最大，这里是直线和解方程组，解得此时（万元）当时最大答:投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大考点：利用线性规划求目标函数的最值.13.已知函数.（1）解不等式；（2）若时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；（2） 即对恒
13、成立， 令，等价于，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由可得 即当时，不等式解集为; 当时，不等式解集为;当时，不等式解集为. (2) 即对恒成立， 令，等价于对恒成立， 又，当且仅当即时等号成立 的取值范围为【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.14.设数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）设
14、数列的公差为，数列的公比为，依题意题意，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式；（2）由(1)知，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.试题解析：（1）设数列的公差为，数列的公比为，依题意有，解得，又，于是，.（2）易知,，两式相减，得，.一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15.“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.16.已知函数 若g（x）存在2个零点，
