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1、 浙江省慈溪市观城中学高三数学理科12月月考试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若为实数，则等于（ ）A B C D2.已知：直线平面，直线平面，下面四个命题正确的是（ ）A与异面 BC D3.抛物线的准线方程是，则的值是（ ）A B C D4.若是的一个内角，且，则表示（ ）A焦点在轴上的椭圆 B焦点在轴上的椭圆 C焦点在轴上的双曲线 D焦点在轴上的双曲线 5.若正实数满足，则（ ）A有最大值4 B有最小值 C 有最大值 D有最小值6.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）A1
2、 B C D37.已知函数，若，则（ ） A B C D与大小不能确定8. 已知，函数在单调递减，则的取值范围是（ ）A B C D9.设为坐标原点，是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点，满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D10. 设是定义在上的奇函数，且当时，. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B C D二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分11.己知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为_12.若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 13.已知三个正数满足，则的取值范围是_.14.设为锐角，若，则的值为
3、_15.设，则的最小值为_ 16.若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是_17.若从这14个整数中同时取3个数，其中任意两数之差的绝对值不小于3，则不同的取法有_种 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本题满分14分）已知函数，设的最小内角为角，满足。（）求角的大小；（）若边上的中线长为3，求面积的最大值。19.（本题满分14分）已知正数数列的前项和为，满足。（）求证：数列是等差数列，并求出通项公式；（）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围。20.（本题满分15分）PBECDFA如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（）证明：；
4、（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值21.（本题满分15分）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 22.（本题满分14分）已知函数，其中且.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数有两个相异的零点.(i)求实数的取值范围；(ii)求证：.观城中学高三数学理科12月月考评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案BBBBCCAADA二、填空题：本大
5、题共7小题, 每小题4分, 共28分11. 12. 13. 14. 15.16. 17.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18. （本题满分14分）解：（） （4分） （5分）是三角形的最小内角 （8分）（）边上的中线长为3 （当且仅当时等号成立） 即当时，的面积有最大值 (14分)19. （本题满分14分）解：（）当时， （2分）当时，两式相减得 为正数数列 （4分）又 （5分） 由得 （6分）所以，当时，有所以，数列是以1为首项，公差为1的等差数列。 （7分） （8分）（）法一： （10分）所以 所以对任意恒成立 （12分） 即的取值范围为 （1
6、4分）法二： （10分）令，则当时，即时，在上为减函数，且 （12分）当时，即时，不符合题意 （13分）综上，的取值范围为 （14分）20. （本题满分15分）解：（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以 （7分）（）解：设，为上任意一点，连接PBECDFAHOS由（）知平面，则为与平面所成的角 在中，所以当最短时，最大，即当时，最大 此时， 因此又，所以，所以 （10分）解法一：因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为
7、 （15分）解法二：由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以PBECDFAyzx，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为 (15分)21.（本题满分15分）（）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为 （5分）（）解：设。 由，消去得 则由，知， （7分）且有。 （9分）由于，故为的中点，由，可知原点在以线段为直径的圆内 即 （11分）而 （13分）所以即又因为且所以。所以的取值范围是。 （15分）22. （本题满分14分）（）， （2分）由于，所以，所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （4分）() ，。令。（i）当时，在单调递增，在单调递减。所以，即。 （6分）所以。 （7分）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，要使在上有两个相异零点，则，此时方程无解。 （9分）综上所得，实数的取值范围为。 （10分）（ii）证明：先证明不等式：当时，对任意的，。令，则，则在单调递减，又，所以，即对任意的，。 （12分）由（）得函数的两个零点（不妨设）满足，故。由于，又由（）得在单调递减，从而，即。 （14分）
