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1、工程数学（本）网上教学活动文本（2007.10.18）大家好！现在是工程数学（本）07秋第一次网上教学辅导的时间，欢迎大家参与这次活动工程数学课程是中央广播电视大学土木工程专业“专升本”的一门重要的基础必修课，它是为培养适应社会主义现代化经济发展和科学进步需要的本科工程技术和工程管理应用型人才服务的，也是学习专业理论课程知识不可缺少的基础课程。本课程是在学生完成高等数学基本知识、基本理论和基本方法的学习基础上，介绍线性代数、概率论和数理统计等内容。这些内容的设置是为学生学习后继的专业课程和今后的实际工作提供数学基础的知识和方法。本课程72学时，4学分。内容包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特
2、征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础。下面介绍第本课程的教学重点与要求，供大家学习时参考。第1章 行列式教学重点：概念部分：行列式的定义，行列式的性质，代数余子式的概念，克莱姆法则。 解答部分：利用性质计算行列式的方法。教学要求： 1知道阶行列式的递归定义；2掌握利用性质计算行列式的方法；3知道克莱姆法则。 主要方法： 1根据行列式的性质1与性质5对行列式作简化，以使许多元素成为“0”，而且要尽量使“0”出现在同一行（列）中然后按某一行（列）展开，展开时必须要正确掌握代表余子式的概念和计算阶行列式其中数为第行第列的元素， 为的代数余子式，为的余子式，它是由划去第
3、行和第列后余下元素构成的阶行列式。2利用性质，把所计算的行列式化为三角行列式，而三角行列式的值等于主对角线元素的乘积 3克莱姆法则：如果线性方程组的系数行列式，那么它有解第2章 矩阵 教学重点： 概念部分：矩阵或行列式的有关概念、性质、运算法则和简单的计算。 解答部分：已知一个三阶矩阵A，求解矩阵方程，或求逆矩阵与另一矩阵的乘积。证明题主要是利用对称矩阵、逆矩阵等概念进行有关命题的证明。教学要求：1了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。2了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。3了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等
4、矩阵的定义及性质。4理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。5熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。6了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 重要性质与方法 1矩阵的运算满足以下性质 ， ， ， ， ， 是同阶方阵，则有：。 若是阶矩阵，为常数，则有：。 2若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 3逆矩阵的求法用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵： （其中是的伴随矩阵） 4可逆矩阵具有以下性质： ， ， 第3章：线性方程组教学重点：概念部分：向量的线性运算，向量组的线性相关性，求向量组的秩，线性方程组的解的情况判别、解
5、的性质。 解答部分：对一个含有三个（或四个）变量、三个（或四个）方程的方程组，讨论参数取值与方程组的解的关系并求全部解，或求方程组的全部解。教学要求：1了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。2了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。 3理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。4熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。5了解非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。 重要概念与判别定理1对于向量组，若存在一组不全为零的常数，使得则称向量组线性
6、相关，否则称线性无关。 2向量组的一个部分组如满足： 线性无关； 向量组中的任一向量都可由其线性表出。则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。 3线性方程组有解的充分必要条件是：。 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：。第4章 矩阵的特征值及二次型 教学重点：概念部分：特征值、特征向量的概念，相似矩阵的性质，二次型的定义、标准形及其矩阵表示，正定矩阵的概念。 解答部分：矩阵的特征值与特征向量向量的求法，配方法化二次型为标准形的方法，正定矩阵的判定方法。 教学要求：1理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法。 2了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质；掌握实对称矩阵对角
7、化的方法。 3理解二次型的定义，二次型的矩阵表示；了解二次型的标准形及其矩阵描述；掌握用配方法化二次型为标准形的方法。 4.了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。 重要概念与重要方法 1特征值的求法： 求特征方程的根；特征向量的求法： 求齐次线性方程组 的非零解，称为矩阵的相应于特征值的特征向量。 2当阶矩阵有个线性无关的特征向量时，被它的特征值和特征向量唯一确定，即一定有=PL P -1其中P是以特征向量为列向量的方阵，L是以特征值为对角线元素的对角阵。 3只有平方项而没有交叉乘积项的二次型，即称其为二次型的标准形。任何一个二次型都可化为标准形。即任何一个对称阵A，总能找到可逆阵C，使成为
8、对角阵。 4用配方法化二次型为标准形的方法。以三个变量的二次型为例，即先将含的各项配成一个含的一次式的完全平方，再将含的各项配成完全平方，作变量替换，可得标准形。第5章 随机事件与概率教学重点：概念部分：事件之间的关系、运算的性质，概率的性质及加法公式、乘法公式，条件概率公式、全概公式、事件独立性概念等。解答部分：利用事件运算、概率的性质及加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概公式、事件独立性概念等进行简单的概率问题的计算。证明题主要是利用事件运算性质、事件的独立性和概率公式进行有关命题的证明。 教学要求： 了解随机事件的概念，掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质。 2了解古典概型的条
9、件，会求解简单的古典概型问题。 3熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式。 4理解事件独立性概念，会进行有关计算。 主要概念与性质：1事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算。 2在事件的运算中，要特别注意下述性质： ， 。 3在古典概型中，任一事件的概率为 ， 其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数。 4概率的基本性质是： (1) 对任一事件，有 ； (2) ； (3) 对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则 5若事件满足 （当时）或 （当时）则称事件与相互独立。与相互独立的充分必要条件是。第6章 随机变量及
10、其数字特征教学重点：概念部分：概率分布、概率密度、分布函数等的概念和性质，常见的几种分布，期望、方差与标准差的概念及性质，两个随机变量的期望与方差及其性质等。解答部分：二项分布、一般正态分布等的概率计算，求随机变量期望、方差。 教学要求： 理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。 了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法。 掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表。 了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质。 重要概念与性质： 1常见的随机变
11、量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量用概率分布来刻画，满足： ， 。 连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：，。 随机变量的分布函数定义为：。 对于离散型随机变量有 ； 对于连续型随机变量有 。 2期望：随机变量的期望记为，定义为 （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） 3方差：随机变量的方差记为，定义为 （离散型随机变量） （连续型随机变量）由此可得方差的简单计算公式： 4 随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为： （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） 5期望与方差的性质 若为常数
12、，则 若为常数，则 若为常数，则 6二项分布的概率分布为 特别地，当时，叫做两点分布。 7正态分布的密度函数为 特别地，当时，表示是服从标准正态分布的随机变量。 将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换： 若，令，则，且Y的密度函数为 服从标准正态分布的随机变量的概率为 那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出 8常见分布的期望与方差： 二项分布： 正态分布： 9对于随机变量，若对任意有 则称与相互独立。第7章 统计推断 教学重点： 概念部分：总体、样本、统计量的概念，估计量的无偏性、有效性的概念。 解答部分：方差已知（或未知）条件下，求单正态总体期望的置信区间或对单正态总
13、体均值进行检验。教学要求： 理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表。 掌握参数的最大似然估计法。 了解估计量的无偏性，有效性概念。 了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法。 知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法。 主要概念： 1所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本。样本中所含的样品个数称为样本容量。 统计量就是不含未知参数的样本函数。 2最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数 达到最大值的称为参数的最大似然估计值。一般地，的最大似然估计
