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1、梁的弯曲应力,Chapter Ten,Stresses in Bending,本章内容小结,本章基本要求,10.1 弯曲正应力,10.2 弯曲切应力,10.3 梁的强度及破坏,背景材料,综合训练小制作竞赛,横梁横截面上的应力如何计算？行车移动时，这种应力如何变化？,背 景 材 料,汽车在轮轴上的支承为什么设计为叠板弹簧的形式？这种结构有什么优点？,跳杆横截面上的应力与轴线曲率半径有什么关系？玻璃钢材料制成的跳杆是否满足强度要求？,熟练掌握横截面上弯曲正应力和弯曲切应力的分布规律，并能正确熟练地进行梁的强度分析。,本 章 基 本 要 求,熟悉提高梁强度的各类主要措施。,10.1 弯曲正应力,在梁
2、的平面弯曲中，梁的轴线保持在一个平面内。,10.1.1 梁弯曲的基本概念,2. 纯弯曲和横力弯曲,3. 关于梁弯曲的假定,平截面假定,梁横截面在弯曲时始终保持是一个平面，并始终与轴线垂直。,纯弯曲： 精确,横力弯曲： 近似正确,单向受力假定,梁的轴向纤维只有拉压作用，轴向纤维之间没有挤压或拉伸的作用。,集中横向荷载： 精确,分布横向荷载： 近似正确,细长梁承受均布荷载时，横截面上的最大正应力 x远大于纵截面上的正应力 y 。,4. 中性面 ( neutral surface ),梁的中性面，是梁的轴向纤维伸长区和缩短区的界面。,10.1.2 横截面上的正应力公式,Galileo,E . Mar
3、iotte,C .A .Coulomb,理想实验,实验目的 通过弯曲梁的变形推测横截面上各点的正应力与哪些因素有关，并由此推测正应力公式可能具有的形式。,根据平截面假设，某点的正应力与这点到中性轴的距离呈什么关系？,根据量纲分析，因子 k 应具有什么量纲？,梁横截面上的弯矩和正应力是什么关系？,因子 k 应反映构件的什么性质？,1. 推导思路,几何关系,物理关系,力学关系,正应变与中性层曲率间的关系,正应力与中性层曲率间的关系,确定中性轴位置,中性层曲率表达式及正应力表达式,( 平截面假定 ),( Hooke 定律 ),( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 ),几何关系 ( 平截面假设 ),物
4、理关系 ( Hooke 定律 ),2. 正应力公式推导,力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 ),1) 正应力的合力构成截面上的轴力,重要结论 中性轴必定过形心。,2) 正应力对 z 轴（中性轴）的合力矩构成截面上的弯矩 Mz,力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正应力的关系 ),正应力在横截面上的分布规律,结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压一侧。,6.1.3 梁的正应力计算,1. 正应力公式使用注意点, 梁的正应力公式应在弹性范围内使用。, 对于横力弯曲，梁的正应力公式是近似的，但是其误差一般在工程允许的范围内。, 在应用正应力公式时，可不考虑公式中的负号，而根据所
5、考虑位置处的拉压状况直接确定正应力的正负。,Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为最大值的截面,ymax： 在弯矩最大的横截面上，选择离中性轴最远的点,动脑又动笔 计算下列图形的抗弯截面系数。,例 如图梁的 为105 MPa，试确定尺寸 b。,故取 b = 45 mm,先确定危险截面：,120 240 320 480 (MPa),跳杆中最大正应力,动脑又动笔,由弯曲曲率公式,可得,撑杆跳过程中某时刻跳杆最小曲率半径为 7.5m，增强玻璃钢跳杆直径为 40 mm，E = 120 GPa，求此时杆中的最大正应力。,两梁牢固粘合时,两梁间无摩擦时，横截面上的弯矩由两梁均分。,两种情况下弯矩相同,例
6、 如图的梁由两根梁叠合而成，求两梁牢固粘合、或两梁光滑接触这两种情况下最大正应力之比。,为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？,分析和讨论,如果梁由 n 层叠合而成，情况又怎样？,横截面上应力是如何分布的？,两梁固结,两梁间光滑接触,例 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么比例？,分析,若要使梁具有最大的强度，则应使截面的 Wz 为最大。,例 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么比例？,例 梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横截面
7、如图。若截面上承受的总弯矩为M ，求上下两部分各自承担的弯矩之比。,分析 横截面上各处的正应力关于中性轴的矩的积分构成截面上的弯矩。,每一部分上各处的正应力关于中性轴的矩的积分构成这一部分所承担的弯矩。,例 梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横截面如图。若截面上承受的总弯矩为M ，求上下两部分各自承担的弯矩之比。,错在何处？,同理,例 梁由两根材料相同的梁牢固粘合而成，其横截面如图。若截面上承受的总弯矩为M ，求上下两部分各自承担的弯矩之比。,结论 工字形截面往往可以起到节省原材料的作用。,例 试分析双杠支架的最合理位置。,分析 双杠可简化为两端外伸的简支梁。,运动员可以在杠上任意位置动作。
8、因此应该考虑产生最大弯曲正应力的荷载位置。,例 试分析双杠支架的最合理位置。,分析 双杠可简化为两端外伸的简支梁。,运动员可以在杠上任意位置动作。因此应该考虑产生最大弯曲正应力的荷载位置。,产生弯矩峰值的位置在中点处和外伸端点处。,产生最大弯曲正应力的荷载位置就是产生最大弯矩的荷载位置。,运动员在中点处所引起的最大弯矩：,运动员在外伸端点处所引起的最大弯矩：,合理的设计，应使两个弯矩的峰值相等。,例 试分析双杠支架的最合理位置。,故可得：,（中性轴不是对称轴的情况 ）,应注意最大拉应力与最大压应力可能不在同一个横截面上。,3. 最大正应力计算,例 在如图的结构中，求最大拉应力和最大压应力。,I
9、z = 8.84106 mm4,在 B 截面,在 D 截面,最大拉应力在 B 截面下边缘，数值为 114.5 MPa。最大压应力在 D 截面下边缘，数值为203.6 MPa。,例 在如图的结构中，求最大拉应力和最大压应力。,Iz = 8.84106 mm4,分析和讨论,例 长度为 L 的悬臂梁的横截面是边长为 a 的正三角形。单位长度的重量为 q 。仅由于自重，梁产生弯曲。该梁应如何放置，才能使梁中横截面上的最大正应力为最小？这个应力大小是多少？,分析 过形心的任一轴均为等边三角形的形心惯性主轴。,因此无论如何放置，等边三角形对中性轴的惯性矩都是相等的。,但最大应力还取决于角顶到中性轴的距离。
10、,例 长度为 L 的悬臂梁的横截面是边长为 a 的正三角形。单位长度的重量为 q 。仅由于自重，梁产生弯曲。该梁应如何放置，才能使梁中横截面上的最大正应力为最小？这个应力大小是多少？,图形对过形心的任一轴均为形心惯性主轴。,如图位置的 ymax 为最小。,例 承受均布荷载的梁中，两个支座可以在水平方向上移动。材料的许用拉应力远小于许用压应力。试求铰支座处于什么位置可使梁的许用荷载为最大。,分析 两支座必须对称移动，才能使梁中的许用荷载为最大。,弯矩的峰值出现在 C、D 截面。,由于材料的许用拉应力远小于许用压应力，因此梁的承载能力取决于许用拉应力。,梁的承载能力取决于 C、D 截面的最大拉应力
11、。,C 截面最大拉应力,D 截面最大拉应力,要使梁中的许用荷载为最大，应有,C 截面弯矩,D 截面弯矩,a 应满足的方程：,取合理的解得：,力学家与力学史,Galileo（1564-1642）,Galileo 在 1638 年出版的 Dialogue Concerning Two New Sciences 一书中首次对梁的弯曲进行了研究。,在其后的一百多年中，经 Mariotte, J. Bernoulli 等人的努力，形成了以平截面假设为基础的梁弯曲理论。,Jacob I Bernoulli,( 1654-1705 ),J. Bernoulli，瑞士数学家、力学家，著名的伯努利家族成员之一，
12、在梁理论、概率论、微分方程等许多领域有重要贡献。,力学家与力学史,( bending shear stress ),1. 矩形截面中的弯曲切应力,方向： 矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。,大小： 高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。,10.2 弯曲切应力,矩形横截面上的弯曲切应力是如何分布的？,假定,后面正应力,前面正应力,后面正应力合力,前面正应力合力,前后面的轴向力 N1 和 N2 不平衡。,轴线方向上的力平衡还需要考虑什么因素？,切应力公式推导,后面正应力,前面正应力,后面正应力合力,前面正应力合力,下面切应力合力,平衡方程,切应力公式推导,切应力公式使用注意点,
13、梁的切应力公式应在弹性范围内使用。,所求出的切应力方向与剪力方向相同。,2. 其它截面中的弯曲切应力,圆形横截面中性层上的弯曲切应力,2. 其它截面中的弯曲切应力,圆形横截面中的弯曲切应力分布,切应力竖直分量计算,3. 常用截面最大切应力公式,最大切应力一般出现在中性轴上。,k = 1,例 在如图的结构中，C 处的压力为 180 N，求 G 截面上的最大正应力和最大切应力。,部件 ADC 的简化,对 A 取矩,G 截面剪力和弯矩,最大正应力在截面两侧,最大切应力在中性层上,例 悬臂梁由两段矩形截面梁用五个螺栓固结而成。螺栓等距排列，许用切应力为 80 MPa，试求螺栓直径 d。,分析 螺栓所受
14、的剪切力位于两部分的交界面。,例 悬臂梁由两段矩形截面梁用五个螺栓固结而成。螺栓等距排列，许用切应力为 80 MPa，试求螺栓直径 d。,在组合梁各截面上剪力均为 F，在任一截面中性层上有最大切应力,由于螺栓的固结，梁的两部分紧密结合而成为一个整梁。,截取梁的下半部，,两梁界面上的总剪力,例 悬臂梁由两段矩形截面梁用五个螺栓固结而成。螺栓等距排列，许用切应力为 80 MPa，试求螺栓直径 d。,这个剪力由五个螺栓所承担。,因此每个螺栓承担的剪力为,故取,故有,力学家与力学史,梁的切应力的精确解是由 Saint-Vinant 给出的。但他的研究只涉及到一些简单情况。他对 的近似方法给予了很高的评
15、价。,俄国在修建从彼得堡到莫斯科的铁路中，采用了粗厚的木梁及木组合梁。这类梁沿木纹方向上的切应力很大。为了解决这一问题，工程师 (1821-1891) 于 1844-1850 年间对此进行了系统的研究，并首次得到矩形截面最大切应力是平均切应力的一倍半的结论。他所发展出的近似方法至今仍在工程中广泛采用。,正应力,切应力,最大正应力,最大切应力,10.3 梁的强度及破坏,10.3.1 梁的强度校核,正应力引起的破坏,塑性材料,塑性铰（plastic hinge）,脆性材料,断裂（fracture）,切应力引起的破坏,例 画出结构的剪力弯矩图，并求梁中横截面上的最大拉应力和最大切应力。,分析,例 画出结构的剪力弯矩图，并求梁中横截面上的最大拉应力和最大切应力。,先求支反力,C 处支反力实际方向向下,2.5 kN,2 kN,1.25 kNm,1.75 kNm,0.5 kNm,横截面形心坐标 yc,关于中性轴的惯性矩,梁中最大正应力出现在 A 截面,A 截面偏右,A 截面偏左,最大拉应力在 A 截
