《04无穷大量与无穷小量 王振堂 高等数学 教学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《04无穷大量与无穷小量 王振堂 高等数学 教学课件（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4 无穷小量与无穷小量,一、无穷大量,二、无穷小量,三、无穷小量与无穷大量的关系,四、无穷小量的阶,一、无穷大量,“任意大” 就是不论事先指定一个多么大的正数 总有那 么一个时刻 在那个时刻以后 变量的绝对值就可以大于那个 事先指定的大正数,一、无穷大量,定义28(无穷大量) 如果对于任意给定的正数E 变量y在其变化过程中 总有 那么一个时刻 在那个时刻以后 不等式|y|E恒成立 则称变 量y是无穷大量 或称变量y趋于无穷大 记作lim y,注:一个变量是否为无穷大量,与变量的变化过程有关.,二、无穷小量,定义29(无穷小量) 以0为极限的变量 y称为无穷小量 亦即 对于任意给定的 正数
2、如果在变量 y的变化过程中 总有那么一个时刻 在那 个时刻以后 不等式 |y| 恒成立 则称变量 y为无穷小量,注:一个变量是否为无穷小量,与变量的变化过程有关.,例如,定理25(极限的必要充分条件) 变量y以A为极限的必要充分条件是 变量y可以表示为A 与一个无穷小量的和 即 lim yAyA 其中lim 0,如果lim yA 根据定义26有 对于任意给定的 0 总有 那么一个时刻 在那个时刻以后 不等式 |yA| 恒成立 因此 如果将yA作为整体 则由定义29 它是一个无穷 小量 记为 则yA 即yA 所以y是A与无穷小量的和,证,只证必要性,充分性的证明请同学们自行完成.,定理26(无穷
3、小量的性质) 如果变量是无穷小量 变量y是有界变量 则变量y是无 穷小量,定理25(极限的必要充分条件) 变量y以A为极限的必要充分条件是 变量y可以表示为A 与一个无穷小量的和 即 lim yAyA 其中lim 0,推论 常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量,解,三、无穷小量与无穷大量的关系,定理27,在变量y的同一变化过程中,(1)设y是无穷大量 则对于任意给定的 0 总有那么一个时刻 在那个时刻以后 恒有,证,同理可证(2),四、无穷小量的阶,当x0时 x 2x x2都是无穷小 但它们趋于0的速度却不一样 请观察,显然 x2比x与2x趋于0的速度都快得多 快慢是相对的 是相互比较而言的,四、无穷小量的阶,定义210(无穷小的阶),设及是在同一个变化过程中的无穷小量,例5,因为,所以当x0时 x2是比x较高阶的无穷小量 可以记为x2o(x) 反之 当x0时 x是比x2较低阶的无穷小量,例6,因为,所以当x0时 x与2x是同阶无穷小量,作业: (口头作业)p.91 7; 8; 9; 10.,
