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1、第15章 結構動力分析385第15章結構動力分析的參數設定Structural Dynamic Analysis在這之前我們已經做過了一些簡單的動力分析（譬如Sec. 4.6），這一章我們要更進一步地來介紹動力分析的一些基本觀念，了解這些基本觀念才能適當地設定ANSYS動力分析所需要的參數。本章雖然針對結構動力分析討論，但是大部份的觀念可以推廣至其他領域的分析。 在本章的第1節中，我們再一次來討論動力分析的幾種類別：transient analysis、modal analysis、及harmonic response analysis（其他還有spectrum analysis、random
2、 vibration analysis等較少應用的類別則不在本章範圍內），這三種動力分析我們曾分別在Sections 4.2.2、4.2.4、及4.2.5初步介紹過。第2節針對這三種動力分析的解題方法（solution methods）做一介紹。基本上動力分析是在解一組二階的聯立微分方程式（a system of simultaneous second-order differential equations），其解法包括了：直接積分法（direct integration）、model superposition、及reduce method等；直接積分法又有implicit method及
3、explicit method之分。了解這些方法的基本觀念有助於對ANSYS動力分析所需要的參數的理解。從力平衡的觀念來看，結構係由四種力量構成動力平衡：慣性力、阻尼力、彈性力、及作用的外力，我們可以用4.1式來代表這個關係。在4.1式中，結構的質量 M、阻尼 C、及勁度 K 代表結構物內在的特徵，相對地外力 F 是非屬於結構內在的量。結構勁度在這之前我們已經討論很多，結構的質量及阻尼則相對地較陌生，本章第3節針對結構的質量及阻尼做一討論，尤其是與ANSYS應用有關的觀念。為了避免太多的觀念介紹而缺乏具體的實際分析工作，我們在第4節先以一個實例來讓讀者有較具體的體會。歷經第4節的實例後，你會發
4、現動力分析和靜力分析的相異之處除了多考慮結構質量及阻尼外，還是有其他更多的複雜性存在，後續3節分別對其中幾個重要觀念做一介紹。第5節介紹如何輸入動態的負載（dynamic loads）；第6節討論如何輸入初始條件（initial conditions）；第7節則討論積分時間間隔（integration time step）輸入時的注意事項。第8節以一個練習題來結束這一章的討論。第15.1節 何謂動力分析391第15.1節 何謂動力分析？What Are Dynamic Analyses?什麼是動力分析？最清楚的（雖然並不一定是最容易了解的）的定義應該是從力平衡的觀念著手：當inertia fo
5、rce或damping force足夠大，而必須考慮在力平衡方程式裡面時，我們就必須要進行一動力分析。我們知道靜力平衡方程式(2.17)代表外力 F 及結構的彈性力 KD 之間的平衡關係。如果inertia force及damping force足夠大到必須加以考慮時，那麼力平衡方程式必須寫成(4.1)其中M代表inertia force而C代表damping force，這兩個效應合在一起稱為動力效應（dynamic effects）。接下來的問題只剩下：什麼時侯dynamic effects要考慮在力平衡方程式中？什麼時侯dynamic effects才稱為足夠大呢？一個最保險的方法是：永
6、遠不要忽略dynamic effects（亦即進行動力分析）；或者是靜力分析及動力分析各做一次，當兩次分析的結果差異在可接受範圍時（譬如1%之內、或5%之內），即表示dynamic effects是可以忽略的，反之則是不可忽略的。實際的工程分析常常不需要耗費太多時間做這樣的實驗，我們應該有更簡單的法則來決定是否需要考慮動力效應。從4.1式來看就會很清楚，就是 或 夠大時，動力效應就必須要考慮了；也就說整個結構的變形速度、或變形的加速度很快時就必須要考慮動力效應了。注意，結構的變形速度很緩慢時，加速度通常也是很小的，由此我們的初步結論是：結構的變形速度很快時才需要考慮動力效應。那麼多快才算很快呢
7、？一般而言我們可以用該結構的基本自然頻率（fundamental natural frequency，亦即最低的共振頻率）來做基準。當結構做反覆變形時，其變形的頻率小於結構的基本自然頻率的1/3時，我們可能還不需要考慮動力效應 Ref. 3, Sec. 9.1。15.1.1 Transient Dynamic Analysis當我們將問題寫成Eq. 4.1的形式，而直接去解這個方程式時，稱為Transient dynamics analysis，亦即考慮一個結構承受任意外力時，結構的反應。通常外力若隨時間而變時，該結構的反應也是隨時間而變的。Transient analysis此名稱是相對於s
8、teady-state analysis的，亦即Eq. 2.17所代表的結構行為。15.1.2 Modal AnalysisEq. 4.1中，當外力是0時，代表模態分析的控制方程式，亦即(4.2)想像一個結構（譬如一個cantilever beam），你給它一個外力後，然後移除此外力（譬如僅僅拍打一下），一開始會有一些暫態的（transient）運動，但終究會達到一個穩定的（steady-state）的振動。事實上如果沒有任何阻尼的機制，它會永遠延續此穩定的振動；但是實際上都存在著某些阻尼的機制（Sec. 15.3），使得此一振動的振幅或多或少慢慢減低（但是頻率通常還是穩定的）。當我們要了解這
9、個穩定振動的行為（而不關心一開始的暫態行為）時，可以直接去解Eq. 4.2，亦即只考慮外力移除的情況，而不需將完整的外力（給一個外力後，然後移除此外力）應用在Eq. 4.1上。從數學的觀點來看，Eq. 4.2是一個特徵值問題（eigenvalue problem），其特徵值（eigenvalues）代表結構的自然振動頻率（natural frequencies），而每一個特徵值相對的特徵向量（eigenvector）代表振動形狀（vibration shapes）。注意，自然振動頻率不只一個，最低頻的自然振動頻率稱為基本自然振動頻率（fundamental natural frequency）
10、。所以模態分析的結果是自然振動頻率及振動形狀。Eq. 4.2的解答程序相當耗時。幸運的是，絕大部分的情況下，我們可以忽略阻尼力（C）這一項，而將Eq. 4.2簡化為(15.1)除非你指定要考慮阻尼效應，否則ANSYS的模態分析是以Eq. 15.1來解的 Ref. 5, MODOPT。以下我們討論忽略了阻尼力後，所產生的誤差有多大，亦即Eq. 15.1與Eq. 4.2所求得的自然振動頻率及振動形狀有多大的差異。首先討論自然振動頻率。忽略了阻尼力後，自然振動頻率會有多大的誤差？以下的公式可以用來描述在一個單自由度的結構下，考慮阻尼力與不考慮阻尼力所計算的自然振動頻率關係 Ref. 3, Sec.
11、9.2：(15.2)其中fd代表考慮阻尼力所計算的自然振動頻率，fu代表不考慮阻尼力所計算的自然振動頻率，而x代表阻尼比（damping ratio，請參閱任何結構振動學課本，或Ref. 3, Sec. 9.2）。一般而言，結構物的damping ratio約在5%至10%之間，所以考慮阻尼力與不考慮阻尼力所計算的自然振動頻率會非常接近，誤差在實務上是可以忽略的。注意，Eq. 15.2雖是以單自由度結構所導出的結果，但是還是可以用來解說上述的結論。接著討論振動形狀的誤差。嚴格來說，振動形狀是和時間有關的，隨著時間越久，振幅越來越小。在考慮單自由度的結構下，連續兩次振動的振幅比（R 1，或稱為減
12、衰比）可以用下式估算 Ref. 3, Sec. 9.2：(15.3)其中x是前述的阻尼比。事實上Eq. 15.3可以做為阻尼比量測的公式。一般而言，結構的damping ratio約5%至10%，所以連續兩次振動的振幅比約在1/2至3/4，用另外一種說法是：一般的結構反覆振動8至15次後，振幅會降至小於原來的1/100。為什麼需要進行模態分析？ 模態分析的目的是計算自然振動頻率及振動形狀，但是為什麼要計算自然振動頻率及振動形狀呢？我們可以列舉下列幾個理由：（1）避開結構共振現象以免結構遭受破獲；（2）相反地，利用結構共振現象，以最少的能量輸入製造最大的振動效果；（3）自然振動頻率可以代表一個結
13、構的整體剛度，不同的振動形狀所相對的頻率代表該變形下的剛度數值，依此可以評估整體結構所需要加強的部位。（4）自然振動頻率往往是其他進一步動力分析（transient analysis、harmonic response analysis）的必要參考值，譬如harmonic response analysis中，我們較關心的是接近自然振動頻率時，結構反應的放大現象，所以必須先知道自然振動頻率的值。以下我們舉一個更具體的例子。任何會轉動的機構（馬達、葉片、或引擎等），安置在一個支撐結構（supporting structure）上，這個轉動的機構會對支撐結構造成一個上下週期性的力量，當轉動的頻率和
14、支撐結構的頻率接近時，就會產生共振現象，這對這個支撐結構來講是很危險的事情。另一個例子是汽車的排氣管，它有自已的自然頻率，如果引擎的轉動和排氣管的很接近時，你可以想像排氣管就會開始共振、引起吵雜聲、嚴重時甚至會振壞了。再考慮另一個例子：一組轉動的渦輪葉片。每一個單獨的葉片本身有自己的自然振動頻率，如果這個渦輪旋轉的頻率跟這個葉片的自然頻率接近時，葉片就會產生共振現象。以上的這一類的例子非常多，任何結構只要有週期性運動的機構附著在上面，我們就必須要檢查結構的自然頻率和附著在其上的機構的頻率是否很接近。15.1.3 Harmonic Response AnalysisHarmonic respon
15、se analysis是指外力為harmonic functions（亦即sin或cos函數形式）時，結構的反應，所以Eq. 4.1可以表示成(15.4)其中w是外力的角頻率（rad/sec），f是phase angles，F是力的幅度；作用在每一個自由度上的外力，其f、F是可以不一樣的，但是w假設是一致的。前面提過，任何會轉動的機構，安置在一個支撐結構上，這個轉動的機構會對支撐結構造成一個上下週期性的力量。這個力量可以用harmonic functions來代表，亦即Eq. 15.4所表示的形式。當機構轉動的頻率跟支撐結構的頻率一致時，理論上會產生共振現象，結構的振幅會變成無窮大。但是實際上因為有阻尼的存在，振幅不會是無窮大，而是有限值，我們希望這個值有多大。事實上縱使共振現象還未發生，只要機構轉動的頻率接近支撐結構的頻率時，結構反應還是會被放大很多。Harmonic response analysis的目的是希望知道在各種機構轉動頻率下，支撐結構的反應值，例如Figure 4-1所示。第15.2節 解題方法395第15.2節 解題方法Solution Methods針對如Eq. 4.1（Eqs. 4.2、15.1、及15.4可以視為Eq. 4.1的特殊情況）的方程式，ANSYS提供了許多解法，如Figure 15-1所示：基本上解Eq.
