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1、兰州市2018年高三实战考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A2. 已知在复平面内，复数对应的点是 ，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数对应的点是复数的共轭复数故选D.3. 等比数列中各项均为正数，是其前项和，满足，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等比数列的公比为.，即.或（舍去）故选D.4. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线的方程为，则落入阴影部分的点的个数的
2、估计为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，阴影部分的面积为，正方形的面积为1.正方形中随机投掷10000个点，落入阴影部分的点的个数的估计值为故选B.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；5. 已知非零单位向量满足，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设与的夹角为.，即.，则.为非零单位向量，即.故选D.6. 已知点为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为 ，则该双
3、曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为 ，得，过点作轴，垂足为，则，如图所示：在中，则，即，代入双曲线方程得，即.点为双曲线的左右顶点双曲线的方程为故选B.7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】抛物线的方程为焦点，准线的方程为.直线的斜率直线的方程为，当时，即.为垂足点的纵坐标为，代入到抛物线方程得，点的坐标为.故选C.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的九章算术中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了
4、利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入的的值为，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】初始值，程序运行过程如下：，不满足，执行循环；，不满足，执行循环；，满足，退出循环；输出故选C9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，高为.该几何体的体积为故选A.10. 设 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】.故选A.11. 已知函数，如果时，函数的图象恒过在直线的下方，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令
5、，则，即.当时， 在上单调递增，则当时， ，满足题设；当时， 在上不单调，因此存在实数不满足题设，所以D不正确.故选B.点睛：本题的解答过程是巧妙构造函数，先运用求导法则求出函数的导数，再运用分类整合思想分析推断不等式成立的条件，进而求得实数的取值范围，使得问题获解.12. 已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，则.在上有恒成立在上恒成立，即在上为减函数.，故A，B不正确.故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：
6、如构造， 构造， 构造， 构造等第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知变量具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若关于的回归方程为，则 _【答案】【解析】由题意得，代入到线性回归方程，得.故答案为.14. 若变量满足约束条件 ，则目标函数的最大值是_【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大.由得，即，代入目标函数得，即的最大值是.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可
7、行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 的展开式中，常数项的值为_（用数字作答）【答案】【解析】 , ,常数项为.16. 已知数列满足，若，则数列的通项 _【答案】【解析】，即数列是以为首项，公比为的等比数列故答案为.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数
8、列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必做题17. 已知向量，函数.（1）求函数的图象对称轴的方程；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换可得，再令，即可得函数的图象对称轴的方程；（2）根据，可得，再结合三角函数图象即可得函数在上的最大值和最小值.试题解析：（1）由已知，对称轴的方程为，即.（2），.18. 如图所示，四边形是边长为的菱形，平面平面，.（1）求证：（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：
9、（I）连接，根据菱形的性质可知，结合，可得平面，垂直同一个平面的两条直线平行，故四点共面，故.（2）以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.计算直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角公式求得线面角的正弦值.试题解析：（）证明：连接，因为是菱形，所以.因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，平面，所以.所以，四点共面.因为平面，所以.（）如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.可以求得，.所以，.设平面的法向量为，则即不妨取，则平面的一个法向量为.因为，所以 .所以直线与平面所成角的正弦值为.19. 某智能共享单车备有两种车型，
10、采用分段计费的方式营用型单车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型单车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过分钟还车的概率分别为，并且三个人每人租车都不会超过分钟，甲乙均租用型单车，丙租用型单车.（1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件的概率公式，分两种情况计算概率；（2）随机变量所有可能取值有，根据相互独立事件的概率公式求出各种情况对应的概率，即可得出分布
11、列，再计算数学期望试题解析：（1）由题意，甲乙丙在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件,则；（2）随机变量所有可能取值有， 则，所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为所以 .点睛：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.20. 已知为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使
12、得等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由已知可得，将 代入 可得；（2）当的斜率为零或斜率不存在时，=；当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，应用韦达定理，弦长公式由直线的斜率为，得到，计算得到=，求得.试题解析：（1）因为，所以所以 ，将P代入可得所以椭圆的方程为（2）当的斜率为零或斜率不存在时，=；当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则因为直线的斜率为，所以=综上，所以，存在常数使得成等差数列.考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.等差数列.21. 已知函
13、数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）求的解析式及单调递减区间；（2）若存在，使函数成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（I）首先求得函数定义域与，然后利用导数的几何意义求得的值，从而根据求得函数的单调递减区间；（II）首先将问题转化为，然后求得，并求得其单调区间，从而求得其最小值，进而求得的范围（I）由及得函数的定义域为 由题意 解得故， 此时，由得所以函数的单调递减区间是（II）因为，由已知，若存在使函数成立，则只需满足当时，即可又，则，若，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，若，则在上单调递减，在上单调递增，所以 在 上的最小值为，又 综上所述， 的取值范围22. 已知直线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是为参数）.（1）求直线被曲线截得的弦长；（2）从极点作曲线的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】（1）先借助参数方程、极坐标方程与直角坐标之间的关系互化，再运用弦心距、半径、半弦长之间的关系分析求解；（2）依据题设条件建立极坐标系，运用解直角三角形的知识进行求解：（）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是，易得圆心到直线的
