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1、2.2 函数的极限,一、当x时函数的极限,二、当xx0时函数的极限,三、左极限与右极限,四、关于函数极限的定理,一、当x时函数f(x)的极限,引例,和数列极限一样 “当|x|无限增大时 y无限地接近于1” 是指 “当|x|无限增大时 |y1|可以任意小” 即对于任意给定的 0 要使,限,定义23(函数的极限),如果对于任意给定的正数 总存在一个正数M 使得当一 切|x|M时 |f(x)A| 恒成立 则称当x趋于无穷大时 函数f(x) 以常数A为极限 记作,说明,定义中刻划f(x)与A的接近程度 M刻划|x|充分大的程度 是任意给定的正数 M是随而确定的,如果x从某一时刻起 往后总是取正值(负值
2、)而且|x|无限 增大 则称x趋于正(负)无穷大 记作x(x) 此时定义 中|x|M可改写为xM(xM),证,对于任意给定的 0 要使,证,因此 对于任意给定的 0,取Mlog2 则当xM时,注意:,p.56 图2-5,对于任意给定的 0 要使,证,因此 对于任意给定的 0,取Mlog2 则当xM时,注意:,例2(续) 用定义证明,p.56 图2-5,例4,解,例3,解,极限f(x)A(x)的几何意义,对任意给定的小正数,总可以找到M0,当x进入区间( M)(M )时,f(x)全部落入区间(A A)内,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值
3、,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,二、当xx0时函数f(x)的极限,目的:研究当自变量xx0时,函数y=f(x)的变化性态.,定义24(函数的极限),如果对于任意给定的正数 总存在一个正数 使当 0|xx0| 时 |f(x)A| 恒成立 则称当x趋于x0时 函数f(x)以常数A为极限 记作,说明 (1)定义中的刻划f(x)与常数A的接近程度 刻划x与x0的 接近程度 是随而确定的 (2)定义中的|xx0| 表示x与x0的距离小于 而0|xx0|表 示xx0 因此0|xx0|表示x(x0 x0)(x0 x0),分析,设f(x)3x2,对于任意给定的 0 要使,|f(x)4| | (3x
4、2)4|3x6|3|x2|,证明:,|f(x)4| | (3x2)4|3x6|3|x2|,5,|f(x)x0|xx0| 只要取就可以了,设f(x)x,证,|f(x)x0|,取 当0|xx0|时,因此 对于任意给定的 0,对于任意给定的 0 要使,6,例5,证,函数在点x=1处没有定义.,7,极限f(x)A(xx0)的几何意义,f(x)全部落入区间(A A)内,当x进入(x0 x0)(x0 x0)时,总可以找到 0,对任意给定的正数,三、左极限与右极限,观察当x从0的左侧趋于0时和当x 从0的右侧趋于0时 f(x)的变化趋势,容易看出当x从0的左侧趋于0时 f(x)趋于1 而当x从0的右 侧趋于
5、0时 f(x)趋于0 我们分别称它们是函数f(x)当x趋于0时 的左极限与右极限,三、左极限与右极限,定义25(左极限 右极限) 如果当x从x0的左侧(xx0)趋于x0时 f(x)以A为极限 即对于任意给定的 0 总存在一个正数 使0x0x 时 |f(x)A| 恒成立 则称A为xx0时f(x)的左极限 记作,如果当x从x0的右侧(xx0)趋于x0时 f(x)以A为极限即对于 任意给定的 0 总存在一个正数 使0xx0 时 |f(x)A| 恒成立则称A为xx0时f(x)的右极限 记作,四、关于函数极限的定理,定理21(双侧极限与单侧极限的关系),解,当x0时,而当x0时,8,左右极限存在但不相等
6、,例9,证,四、关于函数极限的定理,四、关于函数极限的定理,定理21(双侧极限与单侧极限的关系),例10.研究当x0时 f(x)|x|的极限,解,定理22 (局部保号定理) 如果f(x)A(x0x0) 而且A0(或A0) 则总存在一个正数 使当0|xx0|时 f(x)0(或f(x)0),四、关于函数极限的定理,设A0 取A/2 则按极限定义可知 总存在一正数 使当0|xx0|时 不等式 |f(x)A|A/2 恒成立 于是可得 AA/2 f(x) A/20 类似地可证A0的情形,证,定理22 (局部保号定理) 如果f(x)A(x0x0) 而且A0(或A0) 则总存在一个正数 使当0|xx0|时 f(x)0(或f(x)0),四、关于函数极限的定理,定理23 如果f(x)A(xx0) 且f(x)0 (或f(x)0) 则A0(或A0),如果f(x)0 假设定理不成立 即A0 那么由定理22 可知存在一个正数 使当0|xx0|时 有f(x)0 这与f(x)0的 假设矛盾 所以A0 同理可证f(x)0的情形,证,作业: p90 4(1)(3); 5; 6.,
