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1、【例1】 设a，bR，求证：a2+b2ab+a+b-1。思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a或b看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。作差=a2+b2-ab-a-b+1=a2-(b+1)a+b2-b+1= =0思路二：注意到不等式两边式子a2+b2与ab的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a与b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。因a2+b22ab，a2+12a， b2+12b三式同向相加得：a2+b2ab+a+b-1思路三：在思路一中，作差后得到关于a的二次三项式，除了用配方法，还可以联
2、系二次函数的知识求解。记f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1因二次项系数为正，=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)20 f(a)0【例2】 已知0a1，0b1，00，首先将题目结论改造为1+ab+bc+caa+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc0。这样的化简或变形（变形的目的也是化简）在绝大多数解题中都是需要的），而且是必要的。在变形过程中通常注意前后问题的等价性。其次在对欲证不等式左边的化简时，应从已知条件中寻找思路：由a1，b1，c1得：1-a0，1-b0，1-c0，因此在对1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解时，应向1-a，1-b，
3、1-c这三个因式靠拢，这样才便于判断整个因式的符号。由轮换式的特点，找准1-a，1-b，1-c中的一个因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc=(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)0【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，dR+，ad=bc，a=maxa，b，c，d，试比较A与B的大小。因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：ab，ac，ad，
4、故保留a，消b，c，d中任一个均可。由ad=bc得：A-B=a+d-(b+c)= =【例4】 a，b，cR，求证：a4+b4+c4(a+b+c)。不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。左= 发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。【例5】 （1）a，b，c为正实数，求证：； （2）a，b，c为正实数，求证：。（1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。（2）同学们可试
5、一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？相加后发现不行，a，b，c的整式项全消去了。为了达到目的，应在系数上作调整。a，b，a相向相加后即可。【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x2+y2。思路一；根据x+y和x2+y2的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。 思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径：途径1
6、：用均值换元法消元：令 ，则 途径2：代入消元法：y=a-x，0xb0，求证：。所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。所证不等式可化为 ab0 不等式可化为：即要证只需证在ab0条件下，不等式组显然成立 原不等式成立【例8】 已知f(x)=，求证：对任意实数a，b，恒有f(a)f(a)注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小
7、理论的基础。【例9】 已知a，b，cR，f(x)=ax2+bx+c，当|x|1时，有|f(x)|1，求证： （1）|c|1，|b|1； （2）当|x|1时，|ax+b|2。这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|a，|a|-a，|a|-|b|ab|a|+|b|，|a1a2an|a1|+|a2|+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|1时，|f(x)|1”的解题意识。从特殊化的思想出发得到：令 x=0，|f(0)|1即 |c|1当x=1时，|f(1)|1；当x=-1时，|f(-1)|1下面问题的
8、解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。 f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1 （2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。当a0时，g(x)在-1，1上单调递增 g(-1)g(x)g(1) g(1)=a+1=f(1)-f(0)|f(1)-f(0)|f(1)|+|f(0)|2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-f(-1)-f(0) -|f(-1)-f(0)|-|f(-1)|+|f(0)|-2 -2g(x)2即 |g(x)|2当a0时 |ax+b|ax|+|b|=|a|x|+|b|a|+|b|a+|b|
9、下面对b讨论 b0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| |f(1)|+|f(0)|2； b0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|f(-1)|+f(0)|2。 |ax+b|2当a0，且a+bc，设M=，N=，则MN的大小关系是A、MN B、M=N C、M0，x2+x30，x3+x10，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能7、若a0，b0，则A、xyz B、xzy C、yxz D、yzx8、设a，bR，下面的不等式成立的是A、a2+3abb2 B、ab-ab+ab C、 D、a2+b2
10、2(a-b-1) （二）填空题9、设a0，b0，ab，则aabb与abba的大小关系是_。10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)_8abc（用不等号填空）。12、当0a0且t1时，与的大小关系是_。13、若a，b，c为RtABC的三边，其中c为斜边，则an+bn与cn（其中nN，n2）的大小关系是_。 （三）解答题14、已知a0，b0，ab，求证：。15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：。16、已知a0，b0，求证：。18、若a，b，c为正数，求证：。19、设a0，b0，且a+b=1，求证：。20、已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a，b，c全为正数。参考答案 （一）选择题1、D。 a0，b0，2、B。 ， a1，b1，c1 logca0，logcb0 logc2ab1 logcab1 abc5、A。 6、B。 x1+x20 x1-x2，x13-x23 同理，x23-x33，x33-x13 同向相加得：x13+x23+x330 又 x1+x2+x30 f(x1)+f(x2)+f(x3)=-(x1+x2+x3)+(x13+x23+x33)abba 作商比较 当ab时，a-b0 当ab时，a-b0 ，当且仅当t
