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1、2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为_.2.已知全集，集合，则_.3.若实数满足，则的最小值为_.4.若数列的通项公式为，则_.5.已知双曲线（）的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是_.6.在平面直角坐标系中，直线经过坐标原点，是的一个法向量.已知数列满足：对任意的正整数，点均在上.若，则的值为 . 7.已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是 .（结果用数
2、值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：等级A+AB+BB-C+CC-D+DE分数7067646158555249464340上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得成绩，其他人的成绩至少是级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为_人.9.已知函数是以为周期的偶函数，当时，令函数，则的反函数为_.10.已知函数的定义域是，值域是，则的最大值是_.11.已知，函数.若函数恰有2个零点，则的取值范围是_12.已知圆:，圆:.直线、分别过圆心、，且与圆相交于两点，与圆相交于两点.点是椭圆上
3、任意一点，则的最小值为_.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.设，则“”是“”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）15.对于函数，如果其图像上的任意一点都在平面区域内，则称函数为“蝶型函数
4、”.已知函数：；，下列结论正确的是( )（A）、均不是“蝶型函数”（B）、均是“蝶型函数”（C）是“蝶型函数”；不是“蝶型函数”（D）不是“蝶型函数”；是“蝶型函数”16.已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值不可能为（ ）（A）2 （B） （C） （D） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知正方体的棱长为.（1）正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？（2）若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，
5、第2小题满分8分）已知函数其中（1）解关于的不等式；（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧，对应的圆心角. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点分别建有监测站，与之间的直线距离为100海里. （1）求海域的面积；（2） 现海上点处有一艘不明船只，在点测得其距点40海里，在点测得其距点海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域？请说明理由.20.（本题满分16分，第1
6、小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的上顶点，为中点，为坐标原点，连接并延长交椭圆于，,求的值；（3）若原点到直线的距离为，当时， 求的面积的范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知项数为项的有穷数列，若同时满足以下三个条件：(为正整数)；或，其中；任取数列中的两项，剩下的项中一定存在两项，满足. 则称数列为数列.（1）若数列是首项为，公差为，项数为项的等差数列，判断数列是否是数列，并说明理由；（2）当时，设数列中出现次，出现次，出现次，其中，求证：；（3）当时，求数列中项数的最小值.- 8 -
