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1、九年级数学(下)第三章圆,3.3 圆周角和圆心角的关系 圆周角定理,沈阳南昌中学九年数学组,回顾与思考,如图1 ,AOB是 角。,如图2 , AB=CD ,则AOB与COD的大小关系是： 。,B,A,O,C,D,圆心,相等,特征：, 角的顶点在圆上., 角的两边都与圆相交.,圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.,练习：,1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。,不是,不是,是,不是,不是,图,图,图,图,图,类比圆心角探知圆周角,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？,为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对
2、的圆周角和圆心角之间有的关系.,请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。,O,圆周角和圆心角的关系,如图,观察弧AC所对的圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?,说说你的想法,并与同伴交流.,教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.,圆周角和圆心角的关系,1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,圆周角和圆心角的关系,2.当圆心(O)在圆周角(A
3、BC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD = AOD,CBD = COD,ABD+CBD= AOD+COD,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD = AOD,CBD = COD,ABD -CBD = (AOD-COD),圆周角和圆心角的关系,2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,思考与巩固,1.如图,在O中,BOC=50,求A的大小.,解: A=
4、BOC=25.,、在下列各图中， ， ，,150,60, ， .,120,140,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,130,C,C,D,B,如图所示，ADB、ACB、AOB分别是什么角？它们有何共同点？ ADB与ACB有什么关系？,同弧 所对的圆周角相等.,(等弧),思考: 相等的圆周角所对的弧相等吗?,在同圆或等圆中,都等于这条弧所对的圆心角的一半.,圆周角定理推论:,1.,相等的圆周角所对的弧相等.,2.,在同圆或等圆中,拓展练习,2.如图(3),AB是直径,你能确定C的度数吗?,推论2： 直径所对的圆周角是直角； 反过来，90的圆周角所对的弦是
5、直径。,演示,3.试找出下图中所有相等的圆周角。,2=7,1=4,3=6,5=8,习题训练,4、如图,AB是直径,则ACB=.,90,3. 直径所对的圆周角是直角;,4. 90度的圆周角所对的弦是直径。,圆周角定理推论:,习题训练,小结,知识点回顾,1.同弧或等弧所对的圆周角相等; 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 2.直径所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径.,注意,条件“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,或 删去“同圆或等圆”的条件，结论都不成立了.,圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,圆周角定理推论：,5.如图：OA、OB、OC都是O的半径 A
6、OB=2BOC.求证：ACB=2BAC.,证明：,ACB= AOB,1,2,BAC= BOC,2,AOB=2BOC,A,O,B,C,ACB=2BAC,1,规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理,习题训练,6.如图,AB是O的直径，BD是弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?,习题训练,解：BD=CD.,理由是：,连接AD.,AB是O的直径,ADB90,即ADBD,又ACAB,BDCD,例题精解,7. 如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB AC = AE AD,A,O,B,C,D
7、,E,分析：要证AB AC = AE AD,ADC ABE,或ACE ADB,例题精解,7. 如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB AC = AE AD,A,O,B,C,D,E,AE是ABC的外接圆直径,ADC ABE,ABE90,AD是ABC的高,ADCABE90,CE, AB AC = AE AD,证明：连接BE.,1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法； 3、辅助线的思考方法。,拓展 化心动为行动,8.在O中,A=50,求C的大小.,C,A,B,D,定理： 圆内接四边形的对角互补。,9.如图,圆O中,AB是直径,半径COAB,D是CO的中点,DEAB,求
8、ABE的度数.,A,B,E,O,D,C,拓展 化心动为行动,3.如图,AB是O的直径，BD是弦,延长BD到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系?为什么?,习题训练,解：BD=CD.,理由是：,连接AD.,AB是O的直径,ADB90,即ADBD,又ACAB,BDCD,3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，COD=500，则CAD=_,4、AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=350，求BOC的度数。,如图所示，ADB、ACB、AOB分别是什么角？它们有何共同点？ ADB与ACB有什么关系？,同弧 所对的圆周角相等.,(等弧),思考:
9、相等的圆周角所对的弧相等吗?,在同圆或等圆中,都等于这条弧所对的圆心角的一半.,圆周角定理推论:,1.,相等的圆周角所对的弧相等.,2.,在同圆或等圆中,圆周角与圆心角的关系(2),圆周角定理,圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,即 ABC = AOC.,1.如图，在O中，BAC=32，则BOC=_。 2、如图，O中，ACB = 130，则AOB=_。,64,100,练习:如图,圆O中,AB是直径,半径COAB,D是CO的中点,DEAB,求ABE的度数.,A,B,E,O,D,C,圆周角,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC, ADC,A
10、EC.这三个角的大小有什么关系?,问题讨论,问题1、如图1,在O中,B,D,E的大小有什么关系?为什么?,图1,问题3、如图3，圆周角BAC =90，弦BC经过圆心O吗？为什么？,B = D= E,BAC =90,问题解答,1、圆周角定理的推论1：,同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。,2、圆周角定理的推论2：,半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径。,用于找相等的角,用于找相等的弧,用于判断某个圆周角是否是直角,用于判断某条线是否过圆心,练一练,A,B,C,D,(1),(2),.,O,.O,A,B,C,C,D,.,O,
11、.O,A,B,C,D,(3),1. 在o中,与BAC相等的角有( ).,2.如图,在O中,四边形ABCD的对角线把四个内角分 成的八个角中有( )对相等的角. 3.如图,在O中,直径AB=10, BAC=30,则 AC=( ) .,BDC,四,证明：连结AD.,AB是圆的直径,ADB=90，,ADBC,AB=AC，,AD平分BAC，即BAD=CAD，,（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。,做一做,船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁,如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点, ACB就是”危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于”
12、危险角”时,就有可能触礁.,(1)当船与两个灯塔的夹角a大于”危险角”时,船位于哪个区域?为什么?,(1)当船与两个灯塔的夹角a小于”危险角”时,船位于哪个区域?为什么?,练习：,如图，P是ABC的外接圆上的一点,APC=CPB=60。求证：ABC是等边三角形,A,P,B,C,O,证明：,ABC=APC=60,(同弧所对的圆周角相等）,BAC=CPB=60,ABC等边三角形。,ABC= BAC= ACB= 60,1 如图，以O的半径OA为直径作O1, O的弦AD交O1于C,则OC与AD的 位置关系是_。,2 在上题中,若AC = 2cm,则AD = _cm。,OC与BD的位置关系是_。,例题精
13、解,例2、如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB AC = AE AD,A,O,B,C,D,E,分析：要证AB AC = AE AD,ADC ABE,或ACE ADB,题后思：1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法； 3、辅助线的思考方法。,讨论与思考,如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，那么你能得到什么结论？,结论： （1）AE = BE，AC = BC，AD = BD （2）AC = BC，CAB = ABC = D， ACE =BCE =DAB （3）BC2 = AC2 = CE CD，AD2 = DE DC BE2 = AE2 = DE CE,2.如图，的弦AC、BD相交于 外一点. 求证：,四、思考下列各题,并记住结论：,( 的度数 的度数),演示,返回,
