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1、1 1 晶体的弹性性质晶体的弹性性质 ?应力、应变张量，虎克定律 ?弹性常数与对称性 ?弹性波在晶体中传播 2 压电铁电晶体是电介质，它具有介电性 质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它 又具有弹性性质，而压电效应就是反映了 它的介电性质和弹性性质之间的耦合作用。 不同晶体结构的压电铁电晶体，各向异性 程度不一样，或者说独立的弹性常数的数 目与晶体的对称性有关。 3 形变形变 deformationdeformation 在外力作用下，物体的大小和形状都要 发生变化，通常称为形变。当讨论物体 的转动和移动时，形变对运动物体的影 响很小，是次要问题，一般可以忽略不 计。当讨论振动的传播或压电效应等
2、问 题时，形变就成了重要问题，需要进行 深入的讨论和研究。 4 塑性和弹性 Plastic and Elastic 如果外力撤消后，物体不能恢复原状，这种性质 就称为物体的塑性；如果外力撤消后，物体能恢 复原状，这种性质就称为物体的弹性。 自然界不存在完全的弹性体，也不存在完全的塑 性体；只存在既有弹性又有塑性的物体。当外力 较小时，形变也小，外力撤消后，形变消失，物 体恢复原状；当外力较大时，外力撤消后，物体 不能恢复原状。可见物体的弹性有一定的限度， 超过这个限度就成为塑性。与压电有关的问题， 都属于弹性范围内的问题， 5 应力、应变应力、应变 应变张量: strain tensor 晶体
3、中任一点的位置可以用所选定的坐标系的 位置矢量来描述，它的三个分量为x1、x2、x3。 当晶体发生形变时，其中每一点的位置均会发 生改变。设形变前的某一点的位置矢量为r r， 形变后为r r（其分量为x1、x2、x3），由于形 变这一点的位移可以用位置矢衣来表示： r r = = 6 当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离 都会发生变化，设最近邻的两点形变前的 距离为dl l（分量为dxi），形变后的距离为 dl l（分量为dxi），因为dxi=dxi+di，而 = = 3 1k k k i i dx x d 2 7 于是: ( () )( () )( () )( () ) ( () )( ()
4、 ) ( () )( () )( () )2 333 2 222 2 111 2 2 333 2 3 2 222 2 2 2 111 2 1 3 1k 2 kk 2 dddx2dddx2dddx2)dl( dddx2dx dddx2dxdddx2dx )ddx() dl( + + + + + + + + + + + += = = = + + + + + + + + + + + + + + + += = = = + += = = = 8 利用以下关系： 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 dx x dx x dx
5、 x d dx x dx x dx x d dx x dx x dx x d + + + + = = + + + + = = + + + + = = 9 于是有: 2 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 1 2 2 1 1 1 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 22 dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx2 dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx2 dx x dx x dx x dx x dx x dx
6、 x dx2 )dl() dl( + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + += = 10 最后可得到形变前后距离的变化为: 其中张量eik由下式给出: = +=+= 3 1k , i kiik 2 3 1k 2 kk 2 dxdxe2)dl()ddx() dl( ) xxxx ( 2 1 e 3 1j i j k j i k k i ik = + + = 11 该式给出了在物体形变时，它的长度单 元的改变。例如（i/xk），当i=k 时，代表伸缩应变（纵向应变），而当 ik时，代表切应变（横向应
7、变）。一 般称eik为应变张量元。从上式直接可以 看出eik=eki，即应变张量是对称的。 12 在大多数情况下，应变是很小的，所以上式 右方的第三项可以略去，于是应变张量元为： )3 , 2 , 1k, i (), xx ( 2 1 e i k k i ik = + = 3 13 应变张量元的矩阵形式 = 332313 232212 131211 eee eee eee e 二级对称的张量，有六个独立元素 14 如果用x、y、z代表位置矢量r r的三个分 量；u、v、w代表位移矢量 的三个分量； 那么这六个张量元可写成为： zz 3 3 33 yy 2 2 22 xx 1 1 11 e z
8、w x e e y v x e e x u x e = = = = = = = = = = = = = = = = = = xy 2 1 1 2 12 zz 1 3 3 1 31 yz 3 2 2 3 23 e) y u x v ( 2 1 ) xx ( 2 1 e e) x w z u ( 2 1 ) xx ( 2 1 e e) z v y w ( 2 1 ) xx ( 2 1 e = = + + = = + + = = = = + + = = + + = = = = + + = = + + = = 15 应变张量元的几何意义应变张量元的几何意义 z z z e y y y e x x x
9、e zz yy xx = = = 正应变 16 体积元的体积改变量： V)eee (VV)e1)(e1)(e1 (VV zzyyxxzzyyxx += 由形变引起的体积相对增量称为体膨胀为： zzyyxx eee V VV += = 17 切应变切应变shearshear 由于发生切应变，原来的 正方形变成了菱形，它的 边长不改变 切应变 exy=(v/x+u/y)/2 的几何意义 18 由 于 切 变 AA ，BB ，CC ， DD，图中u、v代表A点位移的分量， 令AD=AD=x，AB=AB=y，则： 2211 y u )tan(; x v )tan( = = = = 所以exy=(v/x
10、+u/y)/2=(1+2)/2 4 19 由于应变张量是个对称的二阶张量，只有六个 独立的元素，因此常被写成一个纵列矩阵，用 S代表张量元，用一个新的足标=1、2、6 来代替原来的足标，其对应关系如下： S1S2S3S4S5S6 exxeyyezz2eyz2ezx2exy 20 应力张量应力张量stress tensorstress tensor 在没有形变的固体中，分子的排列是处于在没有形变的固体中，分子的排列是处于 热平衡状态，作用在固体中任意一部分的热平衡状态，作用在固体中任意一部分的 合力都等于零。如果固体有形变，那么它合力都等于零。如果固体有形变，那么它 就不再处于原来的平衡态，而会
11、受到力的就不再处于原来的平衡态，而会受到力的 作用，该力会使物体具有恢复到平衡的趋作用，该力会使物体具有恢复到平衡的趋 向。向。 21 这种在固体形变时，作用在固体中单位面这种在固体形变时，作用在固体中单位面 积上的力称为应力。应力是一个二级张积上的力称为应力。应力是一个二级张 量，其各个分量为量，其各个分量为 xx xx、 、 yy yy、 、 zz zz、 、 yz yz、 、 zy zy、 、 xy xy、 、 yx yx、 、 xz xz、 、 zx zx。为此我们也把 。为此我们也把 应力称为应力张量。张量元的前一个足标应力称为应力张量。张量元的前一个足标 代表应力的方向，后一个足标
12、代表应力代表应力的方向，后一个足标代表应力所所 作用面的作用面的法线法线方向。方向。 22 作用在立方体上的应力张量元 23 例如，作用在垂直于x轴的单位面积上沿x 方向的应力是xx，这类应力是垂直于表面 的，代表张力或压力；作用在垂直于x轴的 单位面积上沿y方向的应力是yx，这类应 力是沿着表面的，即平行于表面的切向， 代表切应力。 24 内应力作用在物体上的总力矩等于零，因 此，存在如下关系： yxxyzxxzzyyz ,= = 333231 232221 131211 T 应力张量： 5 25 654321单角标 123123332211双脚标 xyzxyzzzyyxx角标 单、双脚标之间的对应关系 wangclsdu.ed
