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1、第一部分（共 40 分） 一、单项选择题（本大题共 20 小题，每小题 2 分，共 40 分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1、设 z=1-3i，则（） A、|z|=2，arg z=- - B、 |z|=1，arg z=-3 3 C、|z|=4，argz=- - D、 |z|=2，argz=- 3 3 2、下列复数表达式中正确的是（） A、-1=ei B、-1=-e-i C、-1=-ei D 、-1=e-2i （1+i） （2-i）3、-=（）I2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i 4、函数 f（z）=|z|2
2、 在复面上（）A、处处不连续B、处处连续，处处不可导C、处处连续，仅在 z=0 点可导D、处处连续，在 z=0 点解析 5、在复数域内，下列数中为实数的是（）A、 （1-i）3 B、ii C、1ni D、-8 6、解析函数的实部 u（x，y） ，和虚部 v(x,y)所满足的柯西 -黎曼条件为（）u u u u A、-=-,-=- B、-=-,-=- -x y y x x y y xu u u u C、-=-,-=- D、-=- -,-=- x x y x x y y x 7、2sini=（）A、 （e-1-e）i B、 （e+e-1）iC、 （e-e-1）i D、e-e-1 8、设 f（z）=
3、u（x，y）+i（z，y）是一个解析函数。若 u=y，则 f（z）=（）A、i B、1 C、1 D 、-i 9、设 C 是从 z=0 到 z=1+i 的直线段，则积分zdz=（）cA、0 B、2 C、1 D、1+i 10、设 C 为正向圆周|z|=1，则积分ezdz=（）cA、1 B、2 C、 0 D、2i i11、积分 zsinzdz=（）-iA、2i B、0 C、1 D 、-2e-1i 12、设 C1 为正向圆周|z|=1，C2 为正向圆周|z-2|1 ，则积分1 cosz 1 sinz- -dz+- -dz=（） 2i c1 z-2 2i c2z-2A、sin2 B、cos2 C、 0
4、D、2i z513、设 C 是围绕 z0 点的正向简单闭曲线，则积分 -dz=（）c （z-x0）3A、0 B、2i C、2z50i D 、20z30i 14、 复数列 an=e-in，n=0，1，2，则 liman（）nA、等于 0 B、不存在，也不是C、等于 1 D、等于 15、在 z=0 的领域内 1n（1+z）= （-1）n-1 znA、 -zn B、- n=1 n n=1 n 1+（-1）n C、 -zn D、 （-1 ）n-1zn n=1 n n=1 1+（-1）n 16、幂级数 -zn 的收敛半径为（） n=0 3n1A、9 B、3 C、- D 、+3 （-1）n 17、罗朗级数
5、- 的收敛圆环域为（）n=0（z-2 ）n+2A、10 射成为 W-平面上割去正实轴的复平面，并将点 z=-1,1，i 分别映射成 w=,0,1。 37、积分变换（1）设 F（）=Ff （t）。试证明 FF（-t）=2f（） 。 （5 分） （1）利用拉氏变换解微分积分方程：ty（t）- cosy（t- ）d=a，t0 0y（0）=0（其中为常数）一. 计算（32 分，每题 8 分）1. 求 .ln(1)ii2. 计算积分 ，其中曲线 ， 从 变到 。dnCz:eiCz23. 计算积分 ，曲线正向.273(1)z4. 利用留数理论计算定积分 .2cosd(1)9x二 （8 分）利用留数理论证明
6、 20()!sin.n三.（10 分）设函数 是全平面的解析函数，应用柯西一黎曼323()()fzmyxixy方程（1）求 ，m，n 的值；（ 2）求 .fz四.（10 分）把函数 在环域：（1） ；（2） 中展开成2()fz01zz罗朗级数；并指出 的值.Res(;0f五.（15 分） （1）证明拉氏变换的时移性质，即证明：若 ，则对于 ，()LftFs0t有 .0()e()stLftF（2）应用时移性质求函数 （ 实数）的拉氏变换.sin(2)ftt（3）求函数 （a 实数）的拉普拉氏变换。2sint六. （15 分）1、 映射 变区域 为什么区域？说明理由.zi0,Dxiy2、 求将区域 保角地映射为 W 平面上区域 的;arg8z;1Dw任意一个映射.七. （10 分）设 在单连通区域 D 内除点 z0 外解析，在 z0 点近旁有 ，()fz 0()fzMz这里常数 ，证明：对于 D 内包含 z0 的任何简单闭曲线 C，有0,1M()d.Cfz
