《2013年高考数学一轮经典例题 直线与平面的垂直判定和性质 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考数学一轮经典例题 直线与平面的垂直判定和性质 理（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心2013 年高考数学（理）一轮经典例题直线与平面的垂直判定和性质典型例题一例 1 下列图形中，满足 唯一性的是（ ） A过直线外一点作与该直线垂直的直线B过直线外一点与该直线平行的平面C过平面外一点与平面平行的直线D过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键要注意空间垂直并非一定相关解：A过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面B过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行C过此点作平
2、面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条D过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条假设空间点 A、平面 ，过点 A有两条直线AB、 都垂直于 ，由于 AB、 C为相交直线，不妨设 B、 C所确定的平面为 ，与 的交线为 l，则必有 l， l，又由于 、 、 l都在平面 内，这样在 内经过 点就有两条直线和直线 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾故选 D说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个它
3、们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到典型例题二例 2 已知下列命题：（1 ）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2 ）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3 ）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4 ）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直上述命题正确的是（ ） A （1 ） 、 （2 ） B （2） 、 （3） C （3 ） 、 （4） D （2） 、 （4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用应用这两个定理时要特别注
4、意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形用心 爱心 专心解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2 ）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3 ）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4 ）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性故选 D说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直如在正方体 1DCBA中， FE、 分别为棱 1A和 B上的点， G为棱 BC上的点，且 1E
5、F， G，求 1典型例题三例 3 如图，在正方体 1DCBA中， E是 1B的中点， O是底面正方形 ABCD的中心，求证： OE平面 1分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方 法，要证明 E平面1ACD，只要在平面 1A内找两条相交直线与 垂直证明：连结 B、 、 D，在 B1中， OE、 分别是 1和 的中点， / 1AB面 1， D为 在面 D内的射影又 1， BA同理可证， CD1又 1， A、 1面 1ACD， B平面 1 EOD/1， 平面 1AC用心 爱心 专心另证：连结 CEA、 ， OD1，设正方体 1B的棱长为 a，易证 CEA又 ， O在正方体 1B中易
6、求出： aaD262211 ，OBE322，aaD22211 2E， O1 ACD， 1、 AC平面 1D， E平面 说明：要证线面垂直可找线线垂直， 这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用典型例题四例 4 如图，在 ABC中， 90， SA平面 BC，点 A在 S和 C上的射影分别为NM、，求证： S分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想欲证 S，可证 面 MN，为此须证 N，进而可转化为证明平面 ，而已知 ，所以只要证 即可由于图中线
7、线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直证明： A面 BC， 平面 ABC， 90，即 ， S， 平面 S N平面 ABC用心 爱心 专心又 SBAN， C， 平面 C平面 ， ，又 SM， AN， 平面 A N平面 C另证：由上面可证 平面 SBC 为 在平面 内的射影 S， M说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的本题若改为下题，想想如何证：已知 SA O所在平面， AB为 O的直径， C为O上任意一点（ C与 BA、 不重合） 过点 作
8、的垂面交 S、 于点 NM、 ，求证：SAN典型例题五例 5 如图， AB为平面 的斜线， B为斜足， AH垂直平面 于 点， BC为平面 内的直线， H， C， ，求证： coscos分析：本题考查的是线面角的定义和计算要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理证明：过 点作 D垂直 B于 点，连 AD AH， 在平面 内射影为 H BC， ， 在 Rt A中有： BAcos在 t BHD中有： H在 Rt A中有： BAcos用心 爱心 专心由、可得： coscos说明：由此题结论易知：斜
9、线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线 所成的一切角中最小的角若平面的斜线与平面所成角为 ，则斜线与平面内其它直线所成角 的范围为 2，典型例题六例 6 如图，已知正方形 ABCD边长为 4， G平面 ABCD， 2G， FE、 分别是ADB、中点，求点 到平面 EF的距离分析：此题是 1991 年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离为此要寻找过点 与平面 EF平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等证明：连结 C、 ， EF和 BD分别交 AC于
10、 OH、 ，连 GH，作 OK于 ABD为正方形， 、 分别为 、 的中点， EF/， 为 A中点 ， 平面 G， 平面 与平面 的距离就是 点到平面 EF的距离 CBD， G面 A， ， EF平面 H OK平面 ， 又 G， EF， 平面 即 长就是点 B到平面 的距离正方形边长为 4， 2C， 2A， HO， 3在 Rt G中， 22G用心 爱心 专心在 Rt GCH中， 12GCOK说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如本题可用下列证法：延长 CB交 FE的延长线于 M，连结 ，作 MEBP于 ，作 CGBN
11、/交 M于 ，连结 PN，再作PNB于 ，可得 平面 F， H长即为 点到平面 的距离二是转移法将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离三是体积法已知棱锥的体积和底面的面积求顶点到底面的距离，可逆用体积公式典型例题七例 7如图所示，直角 ABC所在平面外一点 S，且 SCBA(1)求证：点 S与斜边 中点 D的连线 面 ；(2)若直角边 ，求证： 面 分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直 证明：(1)在等腰 SAC中， D为 中点， ACS取 B中点 E，连 、 D/， B， E又 S， 面 ， 面 （ 、 是面 内两相交直线） (2) A， A又 面 C， DS SD
12、， B面 说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等典型例题八例 8如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知： ba/， 求证： b分析：由线面垂直的判定定理知，只需在 内找到两条相交直线与 b垂直即可用心 爱心 专心证明：如图所示，在平面 内作两条相交直线 m、 n a， m， na又 b/，从而有 b， 由作图知 、 为 内两条相交直线 说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线
13、平行的直线与平面垂直典型例题九例 9如图所示，已知平面 平面 = EF， A为 、 外一点， AB于 ，AC于 ， D于 证明： BD分析：先证 A、 B、 C、 D四点共面，再证明 EF平面 ABCD，从而得到 EFB证明： ， ， CAB/ 、 、 、 四点共面 ， ， ， ， 又 ACB， EF平面 DEF说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直本题证明“ A、 B、 C、四点共面”非常重要，仅由 平面 ABC，就断定 DEF，则证明是无效的典型例题十例 10 平面 内有一半圆，直径 ，过 作 S
14、平面 ，在半圆上任取一点 M，连SM、 B，且 N、 H分别是 在 M、 上的射影(1)求证： S；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断用心 爱心 专心(1)证明：连 AM、 B如上图所示， 为已知圆的直径， S平面 ， ， MBSA ， 平面 AN平面 ， N S于 ， SB， 平面 SB H于 ，且 H是 A在平面 的射影， NH解(2)：由(1)知， 平面 M， 平面 A， 平面 SM B且 ， 平面 ，图中共有 4 个线面垂直关系(3 ) SA平面 ， SB、 均为直角三角形 M平面 ， A、 均为直角三角形 N平面 ， N、 、 ANH均为直角三角形 B平面 H， 、 、 S、 B均为直角三角形综上，图中共有 11 个直角三角形(4)由 SA平面 知， MS， ， M由 平面 知， B， ， 由 平面 知， A， ， 由 平面 N知， ，
