现代数学基础作业

《现代数学基础作业》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代数学基础作业（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、现 代 数 学 基 础- 1 -摘 要近 世 代 数 即 抽 象 代 数 ， 产 生 于 十 九 世 纪 ， 在 20 世 纪 沿 着 各 个 不 同 方 向 展 开 ， 是 研究 各 种 抽 象 的 公 理 化 代 数 系 统 的 数 学 学 科 。 包 含 有 群 论 、 环 论 、 线 性 代 数 等 许 多 分 支 ,并 与 数 学 其 它 分 支 相 结 合 产 生 新 的 数 学 学 科 ,已 经 成 了 当 代 大 部 分 数 学 的 通 用 语 言 。 对于 全 部 现 代 数 学 和 一 些 其 它 科 学 领 域 都 有 重 要 影 响 。本 文 简 单 的 介 绍 了 近

2、 世 代 数 的 产 生 、 发 展 ， 并 以 分 子 结 构 问 题 及 开 关 线 路 问 题 等具 体 问 题 来 说 明 近 世 代 数 的 应 用 。关 键 词 ： 近 世 代 数 抽 象 理 论 应 用 现 代 数 学 基 础- 1 -目 录摘 要 .11 近 世 代 数 的 产 生 与 发 展 .12 近 世 代 数 的 应 用 .62.1 分 子 结 构 的 问 题 。 .62.2 开 关 的 线 路 的 计 算 问 题 .72.3 近 世 代 数 与 其 他 课 程 结 合 应 用 .7参 考 文 献 .8现 代 数 学 基 础- 1 -1 近 世 代 数 的 产 生 与

3、发 展近 世 代 数 即 抽 象 代 数 ， 产 生 于 十 九 世 纪 。 抽 象 代 数 是 研 究 各 种 抽 象 的 公 理 化 代 数系 统 的 数 学 学 科 。 由 于 代 数 可 处 理 实 数 与 复 数 以 外 的 物 集 ,例 如 向 量 、 矩 阵 超 数 、 变 换等 ,这 些 物 集 的 分 别 是 依 它 们 各 有 的 演 算 定 律 而 定 ,而 数 学 家 将 个 别 的 演 算 经 由 抽 象 手法 把 共 有 的 内 容 升 华 出 来 ,并 因 此 而 达 到 更 高 层 次 ,这 就 诞 生 了 抽 象 代 数 。 抽 象 代 数 ,包含 有 群 论

4、 、 环 论 、 伽 罗 瓦 理 论 、 格 论 、 线 性 代 数 等 许 多 分 支 ,并 与 数 学 其 它 分 支 相 结 合产 生 了 代 数 几 何 、 代 数 数 论 、 代 数 拓 扑 、 拓 扑 群 等 新 的 数 学 学 科 。 抽 象 代 数 已 经 成 了当 代 大 部 分 数 学 的 通 用 语 言 。近 世 代 数 对 于 全 部 现 代 数 学 和 一 些 其 它 科 学 领 域 都 有 重 要 的 影 响 ， 在 上 一 个 世 纪已 经 有 了 良 好 的 开 端 ， 伽 罗 瓦 在 方 程 求 根 中 就 蕴 蓄 了 群 的 概 念 。 后 来 凯 莱 对

5、群 作 了 抽象 定 义 ， 在 1849 年 的 一 项 工 作 里 提 出 抽 象 群 的 概 念 ， 但 没 有 引 起 反 响 。 直 到 1878 年 ，凯 莱 写 了 抽 象 群 的 四 篇 文 章 ， 引 起 了 世 人 注 意 。 1874 年 ， 挪 威 数 学 家 索 甫 斯 李 在 研究 微 分 方 程 时 ， 发 现 某 些 微 分 方 程 的 解 在 一 些 连 续 变 换 群 下 是 不 变 的 ， 一 下 子 接 触 到连 续 群 。 1882 年 ， 英 国 的 冯 戴 克 把 群 论 的 三 个 主 要 来 源 方 程 式 论 ， 数 论 和 无 限 变 换群

6、 纳 入 统 一 的 概 念 之 中 ， 并 提 出 “生 成 元 ”概 念 。 20 世 纪 初 给 出 了 群 的 抽 象 公 理 系 统 。群 论 的 研 究 在 20 世 纪 沿 着 各 个 不 同 方 向 展 开 。 例 如 ， 找 出 给 定 阶 的 有 限 群 的 全 体 。群 分 解 为 单 群 、 可 解 群 等 问 题 一 直 被 研 究 着 。 有 限 单 群 的 分 类 问 题 在 20 世 纪 七 、 八 十年 代 才 获 得 可 能 是 最 终 的 解 决 。 伯 恩 赛 德 曾 提 出 过 许 多 问 题 和 猜 想 。 如 1902 年 问 道 一个 群 G 是

7、 有 限 生 成 且 每 个 元 素 都 是 有 限 阶 ， G 是 不 是 有 限 群 ？ 并 猜 想 每 一 个 非 交 换 的 单群 是 偶 数 阶 的 。 前 者 至 今 尚 未 解 决 ， 后 者 于 1963 年 解 决 。 舒 尔 于 1901 年 提 出 有 限 群 表示 的 问 题 。 群 特 征 标 的 研 究 由 弗 罗 贝 尼 乌 斯 首 先 提 出 。抽 象 代 数 的 另 一 方 向 是 域 论 。 1910 年 施 泰 尼 茨 发 表 域 的 代 数 理 论 ， 成 为 抽 象 代数 的 重 要 里 程 碑 。 他 提 出 素 域 的 概 念 ， 定 义 了 特

8、征 数 为 P 的 域 ， 证 明 了 任 意 的 域 可 由其 素 域 经 扩 张 而 得 。环 论 是 抽 象 代 数 中 较 晚 成 熟 的 。 尽 管 环 和 理 想 的 构 造 在 19 世 纪 就 出 现 了 ， 但 抽 象 理现 代 数 学 基 础- 2 -论 却 完 全 是 20 世 纪 的 产 物 。 韦 德 伯 恩 论 超 复 数 一 文 中 ， 研 究 了 线 形 结 合 代 数 ， 这种 代 数 实 际 上 就 是 环 。 环 和 理 想 的 系 统 理 论 由 诺 特 给 出 。 她 开 始 工 作 时 ， 环 和 理 想 的 许多 结 果 都 已 经 有 了 ， 但

9、 当 她 将 这 些 结 果 给 予 适 当 的 确 切 表 述 时 ， 就 得 到 了 抽 象 理 论 。 诺特 把 多 项 式 环 的 理 想 论 包 括 在 一 般 理 想 论 之 中 ， 为 代 数 整 数 的 理 想 论 和 代 数 整 函 数 的理 想 论 建 立 了 共 同 的 基 础 。 诺 特 对 环 和 理 想 作 了 十 分 深 刻 的 研 究 。 人 们 认 为 这 一 总 结性 的 工 作 在 1926 年 臻 于 完 成 ， 因 此 ， 可 以 认 为 抽 象 代 数 形 成 的 时 间 为 1926 年 。 范 德 瓦尔 登 根 据 诺 特 和 阿 廷 的 讲 稿

10、 ， 写 成 近 世 代 数 学 一 书 ， 其 研 究 对 象 从 研 究 代 数 方 程根 的 计 算 与 分 布 进 到 研 究 数 字 、 文 字 和 更 一 般 元 素 的 代 数 运 算 规 律 和 各 种 代 数 结 构 。这 就 发 生 了 质 变 。 由 于 抽 象 代 数 的 一 般 性 ， 它 的 方 法 和 结 果 带 有 基 本 的 性 质 ， 因 而 渗入 到 各 个 不 同 的 数 学 分 支 。 范 德 瓦 尔 登 的 代 数 学 至 今 仍 是 学 习 代 数 的 好 书 。 人 们从 抽 象 代 数 奠 基 人 诺 特 、 阿 廷 等 人 灿 烂 的 成 果

11、 中 吸 取 到 了 营 养 ， 从 那 以 后 ， 代 数研 究 有 了 长 足 进 展 。1830 年 ， 皮 科 克 的 代 数 学 问 世 ， 书 中 对 代 数 运 算 的 基 本 法 则 进 行 了 探 索 性 研 究 。在 这 之 前 ， 代 数 的 符 号 运 算 实 际 仅 是 实 数 与 复 数 运 算 的 翻 版 。 皮 科 克 试 图 建 立 一 门 更一 般 的 代 数 ， 它 仅 是 符 号 及 其 满 足 的 某 些 运 算 法 则 的 科 学 。 他 与 德 摩 根 等 英 国 学 者 围绕 这 一 目 标 的 工 作 ， 为 代 数 结 构 观 点 的 形 成

12、 及 代 数 公 理 化 研 究 作 了 尝 试 ， 因 而 皮 科 克被 誉 为 “代 数 中 的 欧 几 里 德 ”。 皮 科 克 的 目 标 虽 然 很 有 价 值 ， 但 方 法 过 于 含 糊 ， 无 法达 到 他 的 愿 望 。代 数 中 更 深 刻 的 思 想 来 自 于 数 学 史 上 传 奇 式 的 人 物 伽 罗 瓦 。 在 1829 1832 年 间 ， 他提 出 并 论 证 了 代 数 方 程 可 用 根 式 解 的 普 遍 判 别 准 则 ， 从 概 念 和 方 法 上 为 最 基 本 的 一 种代 数 结 构 (群 )理 论 奠 定 了 基 础 ， 阐 明 了 群

13、的 正 规 子 群 及 同 构 等 重 要 概 念 。伽 罗 瓦 在 1832 年 去 世 前 ， 几 次 向 巴 黎 科 学 院 递 交 他 的 论 文 ， 均 未 获 答 复 。 他 的 理 论在 1846 年 由 刘 维 尔 发 表 之 前 几 乎 无 人 知 晓 ， 到 十 九 世 纪 60 年 代 后 才 引 起 重 视 ， 这 是数 学 史 上 新 思 想 历 经 磨 难 终 放 异 彩 的 最 典 型 的 例 证 。另 一 项 引 起 代 数 观 念 深 刻 变 革 的 成 果 ， 归 功 于 哈 密 顿 和 格 拉 斯 曼 。 哈 密 顿 在 用 “数 对 ”表 示 复 数 并 探 究 其 运 算 规 则 时 ， 试 图 将 复 数 概 念 推 广 到 三 维 空 间 ， 未 获 成 功 ， 但 却 意想 不 到 的 创 立 了 四 元 数 理 论 ， 时 间 是 1843 年 。现 代 数 学 基 础- 3 -四 元 数 是 第 一 个 被 构 造 出 的 不 满 足 乘 法 交 换 律 的 数 学 对 象 。 从 此 ， 数 学 家 便 突 破 了 实数 与 复 数 的 框 架 ， 比 较 自 由 地 构 造 各 种 新 的 代 数 系 统 。 四 元 数 理 论 一 经 问 世 便 引 来 数 学与 物 理 学 家 的 讨 论 ， 它 本