凸透镜成像的数学模型

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1、“凸 透 镜 成 像 的 数 学 模 型 ”-凸 透 镜 数 据 成 像 基 本原 理 的 探 究简介：本文突破了传统透镜成像作图法的羁绊，改模拟的、近似的定性分析方法为定量的精确的分析方法。通过在坐标系中深入探究 “线段的凸透镜成像”规律, 创建了全新的“凸透镜成像数学模型”。它可精确确定每一像点的位置及“无穷远”的方位。一切物体都可以“凸透镜成像数学模型”绘制出“数据光路图”，得到该物体的凸透镜精确成像。从而为进一步创建“空间物体凸透镜数据成像”奠定基础。可广泛应用于复合透镜设计与误差分析、精密光学仪器的研究、 制造。并提供可靠数据和理论依据 。关 键 词 ： 凸透镜成像数学模型 精确 数

2、据光路图 数据成像一 目 的 :在 几 何 光 学 的 学 习 中 ， 每 当 讨 论 物 体 的 凸 透 镜 成 像 ， 必 然 要 使 用 “透 镜成 像 作 图 法 ”。 然 而 实 践 证 明 ， 当 两 条 特 征 光 线 接 近 平 行 时 ， 用 这 作 图 方 法根 本 无 法 确 定 交 点 的 位 置 。 另 外 ， 实 际 生 活 中 见 到 的 都 是 有 形 状 、 大 小 的 真实 物 体 ， 当 真 实 物 体 从 无 穷 远 处 经 过 2f、 f 移 至 镜 面 时 ， 其 凸 透 镜 所 成 之 像如 何 变 化 ？ 尤 其 是 经 过 界 面 f 时 究

3、竟 是 如 何 发 散 的 ， 能 否 画 出 它 的 影 像 ？我 们 的 目 的 就 是 要 找 出 描 绘 真 实 物 体 凸 透 镜 成 像 的 有 效 方 法 ， 精 确 确定 它 的 位 置 。二 .方 法 、 步 骤 :1.应 用 “凸 透 镜 成 像 的 基 本 原 理 ”,也 就 是 体 现 理 想 凸 透 镜 光 学 本 质 的 三 条 特征 光 线 。2.思 路 ：1) 任 何 复 杂 物 体 都 可 以 用 相 对 比 较 简 单 的 几 何 图 形 来 “逼 近 ”。 例 如 ,球 体 可 用 正 多 面 体 来 逼 近 。 增 加 它 的 面 数 ,即 可 提 高

4、它 的 精 度 。 圆 形 可 用 正 多边 来 逼 近 2） 三 维 空 间 的 物 体 可 用 正 投 影 的 方 法 ,先 将 它 投 影 到 平 面 上 。 再 用 平 面 的凸 透 镜 成 像 方 法 确 定 其 三 维 空 间 的 像 的 位 置 。3) 平 面 几 何 图 形 的 凸 透 镜 成 像 问 题 可 归 结 为 线 段 的 凸 透 镜 成 像 : 在 同 一光 路 图 中 分 别 画 出 组 成 该 几 何 图 形 的 所 有 线 段 的 光 路 图 , 即 可 得 到 整 个 几 何图 形 的 凸 透 镜 成 像 。3. 重 点 是 要 借 助 于 数 学 方 法

5、“非 线 性 变 换 ”， 实 现 精 确 定 位 。三 凸 透 镜 成 像 数 学 模 型 的 建 立 :透 镜 成 像 作 图 法 误 差 太 大 。 为 精 确 定 位 物 点 （ 光 点 ） 的 凸 透 镜 成 像 位 置 ，我 们 建 立 数 学 模 型 ：首 先 ， 假 设 透 镜 为 理 想 透 镜 。 即 1. 透 镜 相 对 于 物 体 足 够 大 。 2. 透 镜足 够 薄 ， 以 至 于 可 以 认 为 厚 度 为 零 。 3.具 有 凸 透 镜 三 条 特 征 光 线 的 基 本 性 质 。4.不 考 虑 色 散 。 将 一 光 点 从 无 穷 远 S0以 平 行 于

6、光 軸 的 方 式 移 至 凸 透 镜 表 面Sn， 对 其 成 像 轨 迹 进 行 分 析 。建 立 直 角 坐 标 系 。 把 透 镜 光 心 放 在 坐 标 原 点 O,光 軸 与 OX 軸 重 合 。 参 考 图 1.设 透 镜 焦 距 为 f， 物 点 S0的 坐 标 为 (X0, Y0) ,X0的 范 国 从 负 无 穷 到 0;其 像 点的 坐 标 为 (X, Y)。设 像 点 与 光 心 (即 原 点 )连 线 的 方 程 为 Y=KX， 由 通 过 光 心 光 线 的 基 本 性 质 ，其 对 应 的 物 点 也 必 在 此 直 线 上 , 故 K=Y0/X0所 以 得 连

7、线 方 程 为 Y=Y0*X/X0 (1)由 平 行 于 光 轴 光 线 的 基 本 性 质 ， 物 点 凸 透 镜 成 像 轨 迹 为 过 焦 点 的 一 直 线 。 直 线 斜 率 为 Y0/f， 截 距 为 Y0。所 以 此 直 线 方 程 为 Y=-Y0*X/f+Y0 (2)则 物 点 S 对 应 像 点 S的 位 置 必 须 由 方 程 (1)、 (2)决 定 。解 之 得 X=X0*f/(X0+f) (3) Y=Y0*f/(X0+f) (4)结 论 : 对 任 何 物 点 S， 只 要 已 知 它 的 坐 标 (X0,Y0), 其 像 的 位 置 （ X,Y） 便 可由 公 式 (

8、3) 、 (4)唯 一 确 定 ， 并 精 确 计 算 出 来 。 此 结 果 被 称 之 为 “凸 透 镜成 像 数 学 模 型 ” 。图 1四 讨 论 ：1. “凸 透 镜 成 像 数 学 模 型 ”公 式 证 明 了 : 当 物 点 从 无 穷 远 S0平 移 移 至 镜 面Sn时 ， 其 像 为 一 “直 线 ”。 它 从 焦 点 F出 发 ， 延 直 线 SnF经 S5、 S7移 至 无 穷 远 S9， 然 后 再 从 直 线 SnF的 另 一 端 的 S9 经 S11返 还 到 点 Sn 。 此 “直 线 ”中 间 断 开 、 两 端 发 散 ， 方 程 为 Y=-Y0*X/f+Y

9、0。 如 图 1。例 1: 用 公 式 （ 3） 、 （ 4） 计 算 并 分 析 物 点 从 无 穷 远 移 至 镜 面 ， 其 像 的 坐 标位 置 及 大 小 变 化 。1） 当 物 点 S 在 高 度 为 Y0的 无 穷 远 处 S0时 ,其 像 S0 的 位 置 为X= X0 * f /(X0+ f) = f /(1+ f /X0)= f (当 X0= - 时 , f /X0趋 于 0)Y= Y0 * f /(X0+ f) = 0 (当 X0= - 时 , Y0* f / (X0+ f)趋 于 0)即 S0的 坐 标 为 (f, 0),它 的 像 就 是 焦 点 F。2) 当 物 点

10、 S 在 S3 (-4f, Y0)时 , X= -4f * f / (-4f + f) = 4f /3Y= Y0 * f / (-4f + f) = -Y0/3像 点 S3的 坐 标 为 (4f /3, -Y0/3)。 若 把 它 看 成 一 蜡 烛 ， 其 像 则 为 一 缩 小 三倍 的 倒 立 实 像 。3) 同 理 可 以 算 得 ,对 物 点 S5 (-2f, Y0)有 像 点 S5(2f, -Y0)。其 像 为 等 高 倒 立 实 像 。4) 物 点 S7 (-3f /2, Y0)有 像 点 S7(3f, -2Y0)。为 放 大 二 倍 的 倒 立 实 像 。5) 当 物 点 S

11、在 S9 (-f, Y0)时 ,像 点 S9的 坐 标 为X= -f * f / ( -f + f) = -Y= Y0 * f /( -f + f)= +像 点 被 定 位 在 直 线 Y=-Y0*X/f +Y0的 无 穷 远 “端 点 ”处 。6) 当 物 点 S 在 S11 (-f /2, Y0)时X= (-f /2) * f /(- f /2)+ f)= - fY= Y0* f / ( (-f /2)+ f) = 2Y0即 像 点 S11 (-f, 2Y0),为 一 正 立 放 大 二 倍 的 虚 像 。通 过 此 例 可 清 晰 地 看 到 ， 物 点 从 无 穷 远 、 两 倍 焦

12、距 2f 外 移 至 f 和 小 于f 时 ， 它 的 像 从 一 焦 点 逐 渐 变 为 倒 立 缩 小 实 像 、 倒 立 放 大 实 像 ， 至 无 穷 远 ， 然后 转 化 为 正 立 放 大 虚 像 的 完 整 过 程 。凸 透 镜 成 像 的 数 学 模 型 公 式 (3)、 (4)同 时 也 证 明 了 ， 任 何 线 段 的 凸 透 镜 成 像均 为 一 “直 线 ”。 而 当 线 段 跨 越 界 面 F 时 ， 此 直 线 便 分 裂 成 两 半 ， 发 散 至 无穷 。图 2 例 2.利 用 凸 透 镜 成 像 的 数 学 模 型 (3)、 (4)， 精 确 画 出 一 跨

13、 越 界 面 2F 的 圆 ，和 一 跨 越 界 面 F 的 三 角 形 的 凸 透 镜 成 像 。 如 图 2、 图 3。只 要 设 定 图 形 拐 点 坐 标 ， 利 用 公 式 (3)、 (4)计 算 出 对 应 像 点 坐 标 ， 便 可在 直 角 坐 标 系 中 精 确 描 绘 出 它 的 图 像 。 需 要 精 细 的 部 位 ， 可 适 当 增 加 几 个 点 。若 使 用 “EXCEL”或 “几 何 画 板 ”， 则 数 据 表 和 图 像 可 自 动 生 成 ， 更 方便 、 快 捷 。 图 32.使 用 凸 透 镜 成 像 的 数 学 模 型 (3)、 (4)不 但 可 以

14、 计 算 出 物 像 的 精 确 位 置 , 也 可 以 在 已 知 物 点 的 像 的 坐 标 位 置 时 , 寻 找 到 物 点 的 位 置 。解 方 程 组 (3)、 (4)： 可 得X0 = - X * f /(X- f) (5)Y0 = - Y * f /(X- f) (6)3. 用 “凸 透 镜 成 像 的 数 学 模 型 ”验 证 “高 斯 定 理 ”：由 图 1 可 见 , 此 时 U=-X0 , V=X, 由 公 式 (3) ,1/U 十 1/V=1/(-X0 )十 1/X=1/(-X0)十 (X0十 f)/(X0* f) =(- f +X0+ f) /(X0* f)= X0

15、/(X0* f)= 1/ f这 就 是 物 距 、 像 距 和 焦 距 之 间 的 经 典 凸 透 镜 成 像 关 系 式 “高 斯 定 理 ”4. 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 若 置 透 镜 于 OYZ 平 面 ， 光 轴 与 OX 轴 重 合 。 用 建 立平 面 凸 透 镜 成 像 数 学 模 型 类 似 的 方 法 ， 可 得 空 间 物 体 凸 透 镜 成 像 的 数 学 模 型 。便 可 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 精 确 绘 出 空 间 物 体 的 凸 透 镜 成 像 。五 .结 论 :1.本 文 突 破 了 传 统 透 镜 成 像 作 图 法 的 羁 绊 ， 通 过 在 坐 标 系 中 深 入 探 究 “线段 的 凸 透 镜 成 像 ”规 律 ,创 建 了 全 新 的 “凸 透 镜 成 像 数 学 模 型 ”。 它 可 精 确确 定 每 一 像 点 的 位 置 及 “无 穷 远 ”的 方 位 。 一 切 物 体 都 可 以 此 “凸 透 镜 成 像数 学 模 型 ”绘 制 出 “数 据 光 路 图 ”， 得 到 该 物 体 的 凸 透 镜 精 确 成 像 。 从 而 为进 一 步 创 建 “空 间 物 体