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1、西 安 交 通 大 学 考 试 题 课 程 复变函数 (A ) 系 别 考 试 日 期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓 名 学 号 期中 期末一. 填空(每题 3 分,共 30 分)1 i2 0 是函数 的 z51cos)(zf(说出类型,如果是极点,则要说明阶数)3. ,则 iyxixf 3223)()fz4. 0,sin1Rez5. 函数 在 处的转动角为w46. 幂级数 的收敛半径为 =_0)(cosnnziR7. dz1i8设 C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线,则 dzeC219函数 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为_ 14zf10 23| 2)(zd成绩二判断
2、题(每题 3 分,共 30 分)1 在 解析。 【 】nzf)(02 在 点可微,则 在 解析。 【 】0)(zf03 是周期函数。 【 】zef)(4 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。 【 】5 设级数 收敛,而 发散,则 的收敛半径为 1。 【 】0nc|0nc0nzc6 能在圆环域 展开成洛朗级数。 【 】1ta()z )(|Rz7 为大于 1 的正整数, 成立。 【 】Ln8如果函数 在 解析,那末映射 在 具有保角性。 【 】)(zf0 )(zf09如果 是 内的调和函数,则 是 内的解析函数。 【 】10uDyuixfD。 【 】212 233| |11|() zz zddz
3、ii三 (8 分) 为调和函数,求 的值,并求出解析函数 。yevpxsinpivuzf)(四 (8 分) 求 在圆环域 和 内的洛朗展开式。)2(1zzf 21z五 (8 分)计算积分 。dxx54cos六 (8 分)设 ,其中 C 为圆周 的正向,求 。Czzf 73)(2 3|z(1)fi七 (8 分)求将带形区域 映射成单位圆的共形映射。)Im(0|a复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各 3 分)1. ; 2. 三级极点 ;3. ;4. 0 ;5. 0 ;6. ;7. ;8. 0;ln2ike 23ze132)1(6s9. 0 ;10. 。)(
4、)()(1)(1 jj二.判断 1.错;2.错;3.正确; 4. 错 ;5.正确 ;6.错; 7.错 ;8. 错 ;9. 正确 ;10. 错 。三(8 分) 解: 1)在 2|z-4 分1000111()()()()2 2nnnzfz z2) 在 |z-4 分201()()()()112)(2nnfz zzz 四.(8 分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故-3 分,54Re25422 izsidxxeii -6 分)2sin(co)(lm2eziiz 故 -8 分s54e54cos22 dxxdx五.(8 分) 解: -
5、3 分371()()CfzzA由于 1+i 在 所围的圆域内 , 故|-8 分iCidiif 1222 |)()1()1( )36(2i六. (8 分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到(映射不唯一 ,写出任何一个都算对)zaief(七.(8 分) 解:对方程两端做拉氏变换: 13)(0)(0()(2 sYysYysY代入初始条件,得 -4 分31)(2s)1()1(3)( ss 38154s故, -8 分(用留数做也可以)ttteety381543)(复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各 3 分)1. ;2. 三级极点
6、;3. ; 4. 0 ;5. 0 ;6. ;7. 3ln2ik 23z e1;8. 0 ;9. 0 ; 10. 0。1cosin二.判断 1.错;2.错;3.正确 ;4. 错 ;5.正确 ;6.错 ;7.错 ;8. 错 ;9. 正确 ;10. 错 。三.(8 分) 解:因为 是调和函数,则有yevpxsi,即 故 -2 分2yxv 0sin)1(sin22 yeppxpx 1p1) 当 时, , 由 C-R 方程,1pxsin, 则 , 又由euxco)(cos)(ygeyux,故 , 所以 。vgyinsi 0 cyg)(则 -3 分cezf)(2) 当 时, , 由 C-R 方程,1pyx
7、si, 则 , 又由yvxuxo )(cos)(ygeux,故 , 所以 。yvygein)sin 0 cy)(则 czfz)(四(8 分) 解: 1)在 2|1-4 分100011()()()()2 2nnnzzfz z2) 在 |-4 分20)(121)21)()()( nnzz zzf五.(8 分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故-3 分,54Re5422 izsidxxeii -6 分)2sin(co)(lm2eiziz 故 -8 分s54e54cos2 dxxdx六.(8 分) 解: -3 分2371()()CfzdzA由于 1+i 在 所围的圆域内 , 故|-8 分iCiiif 1222 |)()1()1( )136(2i七. (8 分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到(映射不唯一 ,写出任何一个都算对)zaief(