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1、试析两个典型问题解法的正确性河北省沧州师专泊头分校 李同贤问题1：线段AB是已知半圆的直径，将AB分成相等的两条线段，以每一条为直径，在已知半圆内分别作两个更小的半圆，如此无限继续下去，所作小半圆能否和线段AB重合？解答：为表述解答过程方便，设线段AB的长为d，称第n次作出的所有直径相等的小半圆为第n级半圆。下面从弧长和面积两个角度考察。第1级有2个，其直径都是d/2，弧长之和为：（d/2）/22=d/2，面积之和为：（d/22）2/ 22=d2/24.第2级有22个，直径都是d/22，弧长之和为：（d/22）/222=d/2，面积之和为：（d/23）2/222=d2/25.一般地，不难得到各
2、级半圆的个数、直径、弧长之和、面积之和如下表：级别个数直径弧长之和面积之和12d/2d/2d2/24222d/22d/2d2/25323d/23d/2d2/26d/2n2nd/2nd/2d2/2n+3d/20d/20可见，当无限继续作下去时，即当n趋向于无穷大时，所有小半圆的弧长之和是常数d/2，该值大于已知半圆的直径d，而所有小半圆的面积之和是0.因为对连接两点的线段（含曲线段）而言，“若不等长，则不重合”是真命题，所以能够断定所作的这些小半圆与线段AB不重合！然而，由所有小半圆与线段AB围成之封闭图形的面积之和为0，可以断定所作的这些小半圆与线段AB重合！这样，从弧长和面积两个不同角度得出
3、了两个完全相反的结论，究竟哪一个正确呢？我们回过头来看，“弧长法”的根据是“连接两点的线段（含曲线段）若不等长，则不重合”，这是一个在有限范围内建立起来并用来解决有限问题的结论。本问题中小半圆的弧长之和d/2虽然是一个极限值，但它是一个非常特殊的数列常数列的极限问题，它没有象一般极限过程那样，真正实现从有限向无限的质的跨越。简言之，该法仍然是用有限“眼光”“看待”了无限问题，因而结论难免是错误的。而“面积法”，当作法无限继续下去时，小半圆弧按级同步向线段AB无限趋近，或说充分靠近，要多近有多近，直至完全重合。因而此法得出的结论才是正确的。问题2：一个鸡蛋的质量是60克，最多可承重3500克，如
4、果把足够多同样的鸡蛋堆放成正棱锥型，最多可堆放几层而不出风险？解答：先看两种特殊情况：1堆放成正三棱锥型。不妨假设，沿底面的一个边沿相临摆放m个，则底面一层共可相临摆放m+（m-1）+3+2+1=（m+1）m /2个；每向上一层，沿一个外边沿就少放一个，由此可知，一共可摆放m层，且这m层共可摆放的个数为：（m+1）m /2+m（m-1）/ 2 +6+3+1=/2 = m（m+1）（m+2）/ 6.这m层的质量为：60 m（m+1）（m+2）/ 6 = 10 m（m+1）（m+2）.最底层每一个承重：10 m（m+1）（m+2） / （m+1）m / 2 = 20（m+2）.由已知，须20（m+
5、2）3500，即m173.最多可堆放173层，但此时恰好已经达到负荷的极限。2.堆放成正四棱锥型。同上之理可得，若沿底层外边沿放m个，则最底层共可放m2个，m层共可放的个数为：m2+（m-1）2+32+22+12= m（m+1）（2m+1）/ 6 .这m层的质量为：10 m（m+1）（2m+1）.最底层每一个承重：10 m（m+1）（2m+1）/ m2=10（m+1）（2m+1）/ m.由已知，须10（m+1）（2m+1）/ m3500，即m173.5最多可堆放173层而不出风险。再看一般情况：对正n棱锥（n为大于3的正整数）而言，假设最多可堆放m层，因每向上一层沿其一个外边沿少放1个，则沿底
6、面一个外边沿可相临摆放m个。因为边长为m的正n边形的面积为Sm= n（m2Cot）/ 4 .我们近似地认为最底层即第m层可放的个数为Sm= n（m2Cot）/ 4 .因此，m层共可摆放的个数为：=（nCot）/ 4 =（nCot）/ 4= n（Cot）/4 m（m+1）（2m+1）/6这m层的质量为：60n（Cot）/4m（m+1）（2m+1）/6最底层每一个承重：10（m+1）（2m+1）/ m.由已知，须10（m+1）（2m+1）/ m3500，即m173.5最多可堆放173层而不出风险。类似地，堆成圆锥型时，若底面外沿放m个，我们近似地认为：底面周长为m，而底面面积m2/（4）是底面可放
7、个数。从而m层共可放m（m+1）（2m+1）/ 6 /（4）.这m层的质量为：60m（m+1）（2m+1）/ 6 /（4），最底层每一个承重：10（m+1）（2m+1）/ m.由已知，须10（m+1）（2m+1）/ m3500，即m173.5所以最多可堆放173层而不出风险。可见，结果只与层数有关，而与正锥体的具体形状无关。事实上，上述解答过程只对两种特殊情况，即正三棱锥和正四棱锥的那部分成立。而“一般情况”下用“边长”和“面积”代替个数，可以验证，对正三棱锥就有很大误差。当n大于或等于5时，“底面”上根本不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋，因而“体内”也不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋。其原因可参考阅读上海教育出版社1998年出版的数论妙趣（美.阿尔伯特.H.贝勒著、谈祥柏译）中的第18章“球戏”。
