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1、2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】 热点九 与圆有关的最值问题总分 _ 时间 _ 班级 _ 学号 _ 得分_ 一、选择题（12*5=60分）1. 【2018届安徽省皖南八校高三第二次（12月）联考】已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知， ， ，故选A.2【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟考试（期末）】已知点在圆： 上运动，则点到直线： 的距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D3【2018届安徽省六安市第一中学高三
2、上学期第五次月考】若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（ ）A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B【解析】由题意得直线过定点圆的圆心为，半径由几何知识可得当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时，故，直线方程为，即所以圆心到直线的最大距离为故点到直线距离的最大值为选B4【2018届辽宁省凌源市高三上学期期末】已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 故选：D.5【2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联考】设，则的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. 9 D. 16【答案】C【解析】其几何意义是单位圆上的点到直
3、线的距离的平方，故其最小值为，故选：C6设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆x2y21相切，则mn的最大值是( )A. 2 B. 2C. D. 【答案】A【解析】依题意得，圆心到直线(的距离等于圆的半径1，于是有 ，即 设，则 当且仅当 时取等号，因此的最大值是 ，选A.7【2018届四川省绵阳市南山中学高三二诊】若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆可化为 则圆心为（-2，2），半径为3，则由圆x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则圆心到直线l：ax+by=
4、0的距离d32=即 则a2+b2-4ab0，若b=0，则a=0，故不成立，故b0，则上式可化为1+ 由直线l的斜率k=-则上式可化为k2+4k+10解得 故选B.8【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】已知点P(1，2)和圆C： ，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是（ ）A. R B. C. D. 【答案】C【解析】圆，因为过 有两条切线，所以在圆外，从而 ，解得，选C9已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则的最小值是( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，a0，b0，b1a0,0a1， 2a
5、24，当且仅当a时取等号.故选：B.10已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为( )A. (0,1) B. (0，1)C. (1,0) D. (1,0)【答案】B【解析】圆C的方程可化为，所以当k0时圆C的面积最大即圆心C的坐标为(0，1)本题选择B选项.11【2018届福建省泉州市高三1月】已知直线： ，圆： .若对任意，存在被截得弦长为，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，圆心到的距离即 解得或故实数的取值范围是故选12.【2018届重庆市梁平区二调】过点作圆C： R)的切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）A. B.
6、 C. D. 23【答案】C【解析】由题意可得圆心坐标为，半径，其中，.利用平面向量数量积的定义有： 设，则：，结合对勾函数的性质可得：函数在区间上单调递增当时， .本题选择C选项.二、填空题（4*5=20分）13. 【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】过动点作圆： 的切线，其中为切点，若 (为坐标原点)，则的最小值是 .【答案】 14. 【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】已知是椭圆上的一点，分别是圆和上的点，则的最小值是_.【答案】7【解析】设两圆圆心为M,N,则M,N为椭圆焦点，因此 ，即的最小值是715.【2018届河南省商丘市高三第一学期期末】设点是函数的图像
7、上的任意一点，点 ，则的最小值为_【答案】【解析】由函数,得(x1)2+y2=4,(y0)，对应的曲线为圆心在C(1,0)，半径为2的圆的下部分，点Q(2a,a3)，x=2a，y=a3，消去a得x2y6=0，即Q(2a,a3)在直线x2y6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则，故答案为： .16.如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_. 【答案】.【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点， 作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值
8、，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.三、解答题题（6*12=72分）17.【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】如图，单位圆与， 轴正半轴的交点分别为， ，圆上的点在第一象限. （1）若点的坐标为，延长至点，使得，求的长；（2）圆上的点在第二象限，若，求四边形的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由点在单位圆上，可知，由图像可得；在中， ， ， ；由余弦定理得 ；解得； （2）设， ， 四边形的面积 ， 当，即时，四边形的面积的最大值为.18.在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆
9、心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）或者；（2）.【解析】（1）由得圆心C为（3,2），圆的半径为圆的方程为： 1分显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即或者所求圆C的切线方程为：或者即或者 6分（2）圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）则圆的方程为： 8分又设M为（x,y）则整理得：设为圆D 10分点M应该既在圆C上又在圆D上 即圆C和圆D有交点 11分解得，的取值范围为： 12分19【2018届宁夏育才中学高三第四次月考】已知圆：，直线过定点（1）若与圆相切，求直线的方程；
10、（2）若点为圆上一点，求的最大值和最小值【答案】（1）直线方程为，；（2）.【解析】试题分析：（1）根据直线和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径列式子求得k值；（2）将式子化简得到，转化为点点距，进而转化为圆心到的距离，加减半径，即求得最值。解析：（1）若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意；若直线的斜率存在，设直线为，即由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，即，解得故所求直线方程为，（2），可以看作圆上的点与点距离的平方把点代入圆的方程：，所以点在圆外所以圆上的点到的最大距离为，最小距离为（其中为圆心到的距离），又，故最大距离为，最小距离为，所以，点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系
11、，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。20【2018届北京市北京师范大学附属中学高三上学期期中】已知点A（a，3），圆C的圆心为（1,2），半径为2.（I）求圆C的方程；（II）设a=3，求过点A且与圆C相切的直线方程；（III）设a=4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（IV）设a=2，直线过点A，求被圆C截得的线段的最短长度，并求此时的方程.【答案】（I）；（II）或；（III）或；（IV）； .试题解析：（I）圆C的方
12、程为；（II）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为，即则圆心到直线的距离为，解得，即切线方程为，当斜率不存在时，直线方程为，满足题意，故过点A且与圆C相切的直线方程为或；（III）设直线方程为，即，由于直线被圆截得的弦长为，故而弦心距为， ，解得 或，即直线的方程为或；（IV），点在圆内，当与垂直时，直线截圆所得线段最短，直线的斜率为，故直线的方程为，圆心到直线的距离为，故弦长为.21.【2018届福建省莆田第九中学高三上学期第二次月考（12月）】已知圆和点.（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点的圆的两条弦 互相垂直，求的最大值.【答案】(1)答案
13、见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由条件知点在圆上，得，进而求出切线方程；（2）设到直线的距离分别为，由勾股定理得，再根据，表示出，结合基本不等式即可求出最大值.试题解析：（1）由条件知点在圆上，所以，则.当时，点为， ， ，此时切线方程为，即.当时，点为， ， .此时切线方程为，即.所以所求的切线方程为或（2）设到直线的距离分别为，则.又有，所以.则 .因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以.所以，即的最大值为.22.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点. （1）求椭圆的方程；（2）求 面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1） （2） 【解析】（1）由已知得到,所以,即.又椭圆经过点,故,解得,所以椭圆的方程是（2）因为直线且都过点当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦由得, ,所以,所以,令,则,当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为,当斜率为0时,即,此时,当的斜率不存在时,不合题意;综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.
