《2018版高中数学人教b版选修2-2课件：1.3.3 导数的实际应用 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教b版选修2-2课件：1.3.3 导数的实际应用 （53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.3 导数的实际应用,第一章 1.3 导数的应用,学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 生活中的最优化问题,1.最优化问题的概念 在经济生活中，为使经营利润 、生产效率 ，或为使用力 、用料 、消耗 等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略.这些都是最优化问题. 2.解决最优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； (2)求导函数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个
2、为最大值，最小的一个为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案.,最大,最高,最省,最少,最省,题型探究,类型一 平面几何中的最值问题,解答,例1 如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.,解 设点B的坐标为(x,0)，且0x2， f(x)4xx2图象的对称轴为x2， 点C的坐标为(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一
3、般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度). (1)将S表示为的函数；,解答,解 由题干图知BMAOsin 100sin ， ABMOAOcos 100100cos ， 则S MBAB 100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，).,(2)当绿化面积S最大时，
4、试确定点A的位置，并求最大面积.,解答,解 S5 000(2cos2cos 1) 5 000(2cos 1)(cos 1).,即点A到北京路一边l的距离为150 m.,类型二 立体几何中的最值问题,解答,例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元. (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；,两端两个半球的表面积之和为4r2.,解答,(2)确定r和l为何值
5、时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.,令y0，得0r2. 所以当r2 米时，该容器的建造费用最小，为96千元，,解答,引申探究 本例中，若r(0,1，求最小建造费用.,解 由例2(2)可知，,当r1时，ymin136. 最小建造费用为136 万元.,(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,反思与感悟,跟踪训练2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1
6、C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正棱锥的高PO1的4倍. (1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？,解答,解 由PO12 m知，O1O4PO18 m. 因为A1B1AB6 m，,正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3). 所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).,(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？,解答,解 设A1B1a m，PO1h m， 则0h6，O1O4h m.连接O1B1.,即a22(36h2).,类型三 实际生活中的最值问题,例
7、3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售 完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x) (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解答,命题角度1 利润最大问题,解 当0x10时，,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解答,解 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润收入成
8、本； (2)利润每件产品的利润销售件数.,反思与感悟,跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解答,所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,210(x3)(x6)2， 3x6. 从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6).,由上表可知，x4是函数f(x)在区间(3,6)
9、内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解答,例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km和5a 元/km，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？,命题角度2 费用(用材)最省问题,解 如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，
10、才能使总费用最省， 设点C距点D为x km，,又设总的水管费用为y元，,令y0，解得x30， 在(0,50)上，y只有一个极值点， 根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值， 此时AC50x20 (km). 供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.,(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.,反
11、思与感悟,跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,解答,解 设隔热层厚度为x cm，,而建造费用为C1(x)6x. 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,解答,当00，,答
12、当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,当堂训练,1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 A.4 B.6 C.4.5 D.8,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,解析 设底面边长为x，高为h， 则V(x)x2h256，,令S(x)0，解得x8， 判断知当x8时，S(x)取得最小值.,2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产 A.9千台 B.8千台 C.6千台 D.3千台,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 构造利润函数yy1y218x2
13、2x3(x0)，y36x6x2， 由y0，得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点.,2,3,4,5,1,答案,解析,3.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形， 当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.,2,3,4,5,1,解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x. 设正方形与圆形的面积之和为S，,2,3,4,5,1,4.某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)1 200 x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为_件.,解析,答案,
14、2,3,4,5,1,25,解析 设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2xk(k为比例系数).,2,3,4,5,1,由y0，得x25，当x(0,25)时，y0， 当x(25，)时，y0， 所以当x25时，y取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为25件.,2,3,4,5,1,5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位：万元)与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处.,解析,答案,5,令y0，得x5
15、(x5舍去)，此点即为最小值点. 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.,2,3,4,5,1,规律与方法,1.利用导数解决生活中最优化问题的基本思路 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：,2.解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域. (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.,本课结束,
