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1、第二章 2.2 椭圆,2.2.2 椭圆的几何性质(二),1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 点与椭圆的位置关系,判断点P(1,2)与椭圆 y21的位置关系.,答案,当x1时，得y2 ，故y ，而2 ，故点在椭圆外.,思考2,类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆 (ab0)的位置关系的判定吗？,答案,梳理,设P(x0，y0)，椭圆 (ab0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：,思考1,知识点二 直线与椭圆的位置关系,直线与椭圆有几种位置关系？,答案,有三
2、种位置关系，分别是相交、相切、相离.,思考2,如何判断ykxm与椭圆 (ab0)的位置关系？,答案,梳理,(1)判断直线和椭圆位置关系的方法 将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若0，则直线和椭圆 ；若0，则直线和椭圆 ；若b0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做 .下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，,相交,相切,相离,弦长,(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用0. 例如，直线l：yk(x2)1和椭圆 .无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点
3、(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.,题型探究,命题角度1 点与椭圆位置关系的判断 例1 已知点P(k,1)，椭圆 ，点在椭圆外，则实数k的取值 范围为_.,类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断,解析,答案,引申探究 若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？,解答,处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.,反思与感悟,解析,跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆 (ab0)上，则 A.点(3，2)不在椭圆上 B.点(3，2)不在椭圆上 C.点(3,2)在椭圆上 D.以上都不正确,答案,命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断 例2 (1
4、)直线ykxk1与椭圆 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,解析,答案,直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.,(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0， )且斜率为k的直线l与椭圆有 两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.,解答,反思与感悟,直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)0直线与椭圆相交有两个公共点. (2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点. (3)0直线与椭圆相离无公共点.,跟踪训练2 (1)已知直线l过点(3，1)，且椭圆C： ，则直线l与椭圆C的公共点的个数为
5、A.1 B.1或2 C.2 D.0,所以点(3，1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.,解析,答案,(2)若直线ykx2与椭圆 相切，则斜率k的值是,解析,答案,类型二 弦长及弦中点问题,例3 已知椭圆 的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.,解答,方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y1k(x2). 将其代入椭圆方程并整理， 得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，,又M为线段AB的中点，,故所求直线的方程为x2y40.,
6、方法二 点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2. M(2,1)为线段AB的中点， x1x24，y1y22.,于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.,故所求直线的方程为x2y40.,方法三 对称点法(或共线法) 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于点M(2,1)为线段AB的中点， 则另一个交点为B(4x,2y).,故所求直线的方程为x2y40.,，得x2y40. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.,引申探究 在本例中求弦AB的长.,解答,由上例得直线AB方程为
7、x2y40.,x(x4)0，得x0或x4，得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，,反思与感悟,直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.,跟踪训练3 已知椭圆 和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点. (1)当直线l的斜率为 时，求线段AB的长度；,解答,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x20，x1x218.,(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.,解答,(14k2)x2(32
8、k216k)x(64k264k20)0.,由于AB的中点恰好为P(4,2)，,方法一 当直线l的斜率不存在时，不合题意. 设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4).,由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，,方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,即x2y80.,类型三 椭圆中的最值(或范围)问题,例4 已知椭圆4x2y21及直线 yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；,解答,因为直线与椭圆有公共点，,(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.,解答,设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知：5x22mxm210，,所以当
9、m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.,反思与感悟,求最值问题的基本策略 (1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围. (3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围.,解答,PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，,当堂训练,1.若点A(a,1)在椭圆 的内部，则a的取值范围是,答案,解析,1,2,3,4,5,2.已知直线l：xy30
10、，椭圆 ，则直线与椭圆的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交,答案,解析,1,2,3,4,5,(24)24532640, 直线与椭圆相离.,1,2,3,4,5,3.已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x y40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,4.若直线ykxb与椭圆 恒有两个公共点，则b的取值范围为_.,直线ykxb恒过定点(0，b)，且直线ykxb与椭圆 恒有两个公共点，点(0，b)在椭圆 内部，2b2.,答案,解析,(2,2),1,2,3,4,5,5.直线l：ykx1与椭圆 y21交于M，N两点，且|MN| ，
11、求直线 l 的方程.,解答,设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，,1,2,3,4,5,化简得k4k220，所以k21，所以k1. 所以所求直线l的方程是yx1或yx1.,得(12k2)x24kx0，,规律与方法,1.直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.,(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.,2.解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0x,2y0y)，,两式作差即得所求直线方程. 特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.,本课结束,
