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1、第三章 导数及其应用,3.3.3 导数的实际应用,1.能利用导数解决实际问题. 2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,数学建模,题型探究,类型一 几何中的最值问题,命题角度1 平面几何中的最值问题 例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场. 如图，圆形广场的圆心为O，半径为100
2、 m，并与北京 路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过 点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进 行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单 位：弧度). (1)将S表示为的函数；,解答,BMAOsin 100sin ， ABMOAOcos 100100cos ，(0，)，,5 000(sin sin cos )，(0，).,(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.,解答,S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)，,当变化时，S，S的变化情况如下表：,此时AB150 m， 即点A到北京路一边l的距离为15
3、0 m.,平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.,解答,设点B的坐标为(x,0)，且0x2， f(x)4xx2图象的对称轴为x2， 点C的坐标为(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,命题角度2 立体几何中的最值问题 例2 请你设计一个包装盒如
4、图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧 面积S最大，则x应取何值？,解答,当且仅当x30x，即x15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.,(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,解答,令V0，得0x20； 令V0，得20x30. 所以当x20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的
5、底面边长为20 2 cm，高为10 2 cm，包装盒的高与底面边长的比值为12.,(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,反思与感悟,跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱 体积的最大值为_ cm3.,答案,解析,设矩形的长为x cm，则宽为(10x)cm (0x10). 由题意可知，圆柱体积为Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2.,类型二 实际生活中
6、的最值问题,解答,所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,210(x3)(x6)2,3x6. 从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6).,于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,反思与感悟,解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
7、(1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？,解答,设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当t2时，f(t)取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.,(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入
8、技术改造费x百万元，可增加的销售额为 1 3 x3x23x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(收益销售额投入),解答,命题角度2 费用(用料)最省问题 例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) k 3x5 (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,解答,设隔热层厚度为
9、x cm，,又C(0)8，所以k40，,而隔热层建造费用为C1(x)6x. 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,解答,当00， 故x5为f(x)的极小值点也为最小值点，,答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,反思与感悟,(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也
10、可以知道在这个点取得最大(小)值.,跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；,解答,(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？,解答,令y0，解得x40或x40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35， 所以函数在定义域内没有极值点. 又当0x35时，y0，,答 为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行
11、驶.,当堂训练,1,2,3,4,5,x0，yx281(9x)(9x)， 令y0，解得x9，又当x(0,9)时，y0， x(9，)时，y0， 当x9时函数取最大值，故选C.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,当t(6,8)时，y0，当t(8,9)时，y0， 故当t8时，y取极大值也为最大值.,1,2,3,4,5,3.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为 A.2 m3 B.3 m3 C.4 m3 D.5 m3,答案,解析,1,2,3,4,5,从而V(x)18x18x218x(1x)， 令V(x)0，解得x1
12、或x0(舍去).,1,2,3,4,5,故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值， 从而最大体积为VV(1)9126133(m3).,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.,1,2,3,4,5,答案,解析,160,当x2时，ymin160(元).,5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个
13、星期的商品销售利润表示成x的函数；,1,2,3,4,5,设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2. 若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,解答,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,1,2,3,4,5,根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解答,故当x12时，f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.,规律与方法,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x). (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,本课结束,
