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1、2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件,第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算,学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 向量共线条件,上面几组向量中，a，b有什么关系？,答案,答案 (1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.,已知下列几组向量： (1)a(0，3)，b(0，6)； (2)a(2，3)，b(4，6)； (3)a(1，4)，b(3，12)；,思考2,以上几组向量中，a，b共线吗？,答案,答案 共线.,思考3,当a
2、b时，a，b的坐标成比例吗？,答案 坐标不为0时成正比例.,思考4,如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？,答案,答案 能.将b写成a的形式，当0时，b与a同向，当0时，b与a反向.,梳理,向量共线的坐标表示 设a，b是非零向量，且a(a1，a2)，b(b1，b2). (1)当ab时，有 . (2)当ab，且b不平行于坐标轴，即b10，b20时，有 . 即两个向量平行的条件是相应坐标 .,a1b2a2b10,成比例,题型探究,例1 (1)下列各组向量中，共线的是 A.a(2，3)，b(4，6) B.a(2，3)，b(3，2) C.a(1，2)，b(7，14) D.a(3
3、，2)，b(6，4) 解析 A选项，(2)634240，a与b不平行； B选项，22334950，a与b不平行； C选项，114(2)7280，a与b不平行； D选项，(3)(4)2612120，ab，故选D.,类型一 向量共线的判定与证明,答案,解析,解答,(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3).判断 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？,方法一 (2)(6)340且(2)40，,反思与感悟,此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.,证明,跟踪训练1 已知A，B，C三点的
4、坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，,证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2).,例2 已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？,类型二 利用向量共线求参数,解答,解 方法一 kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)， a3b(1，2)3(3，2)(10，4)， 当kab与a3b平行时，存在唯一实数， 使kab(a3b). 由(k3，2k2)(10，4)，,方法二 由方法一知kab(k3，2k2)， a3b(10，4). kab与a3b平行， (k3)(4)10(2k2)0，,解答,引申探究 1.若本例条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还
5、是反向？,kab与a3b反向.,解答,2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？,解 akb(1，2)k(3，2)(13k，22k)， 3ab3(1，2)(3，2)(6，4). akb与3ab平行， (13k)4(22k)60，,反思与感悟,根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解.,跟踪训练2 设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_. 解析 ab(1，2)(2，3)(2，23)， ab与c共线， (2)(7
6、)(23)(4)20， 2.,答案,解析,2,类型三 三点共线问题,解答,(4k)(k12)7(10k)，,解得k2或11.,当k2或11时，A，B，C三点共线.,反思与感悟,(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点. (2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.,证明,跟踪训练3 已知A(1，3)，B ，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.,A，B，C三点共线.,当堂训练,1.已知a(1，2)，b(2，y)，若ab，则y的值是
7、 A.1 B.1 C.4 D.4,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 ab， (1)y220， y4.,答案,2,3,4,5,1,解析,2.与a(6，8)平行的单位向量为,解析 设与a平行的单位向量为e(x，y)，,3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,6,即(1，2)(2，m2)(2，m2).,即当m6时，A，B，C三点共线.,证明,2,3,4,5,1,4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5).求证：四边形ABCD是梯形.,证明 A(3，1)，B(1，2)，C
8、(1，1)，D(3，5)，,ABCD，且ABCD， 四边形ABCD是梯形.,5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且 ， 求点M的坐标.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 设点M的坐标为(x，y).,2,3,4,5,1,规律与方法,1.两个向量共线条件的表示方法 已知a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1)当b0，ab. (2)x1y2x2y10. (3)当x2y20时， ，即两向量的相应坐标成比例.,2.向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.,本课结束,
