《2018版高中数学人教b版必修一课件:2.1.4 函数的奇偶性 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018版高中数学人教b版必修一课件:2.1.4 函数的奇偶性 (28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章,函 数,2.1 函 数 2.1.4 函数的奇偶性,学习目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系. 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.,1,预习导学 挑战自我,点点落实,2,课堂讲义 重点难点,个个击破,3,当堂检测 当堂训练,体验成功,知识链接 1.关于y轴对称的点的坐标,横坐标 ,纵坐标 ;关于原点对称的点的坐标,横坐标 ,纵坐标 . 2.如图所示,它们分别是哪种对称的图形? 答案 第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形,第二个和第三个图形为轴对称图形.,互为相反数,互为相反数,相等,互为相反数,3.观察函数
2、f(x)x和f(x) 的图象(如图),你能发现两个函数图象有什么共同特征吗?,答案 图象关于原点对称.,预习导引 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数:设函数yf(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有xD,且f(x) ,则这个函数叫做奇函数. (2)设函数yg(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有xD,且g(x) ,则这个函数叫做偶函数.,g(x),f(x),2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于 成中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是 . (2)偶函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关
3、于y轴对称,则这个函数是 .,偶函数,原点,奇函数,y轴,要点一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)2|x|; 解 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(x)2|x|2|x|f(x), f(x)为偶函数.,解 函数f(x)的定义域为1,1,关于原点对称,且f(x)0,又f(x)f(x),f(x)f(x), f(x)既是奇函数又是偶函数.,解 函数f(x)的定义域为x|x1,不关于原点对称, f(x)是非奇非偶函数.,解 f(x)的定义域是(,0)(0,),关于原点对称. 当x0时,x0, f(x)1(x)1xf(x). 综上可知,对于x(,0)(0,),都有
4、f(x)f(x),f(x)为偶函数.,规律方法 判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(x)是否等于f(x),或判断f(x)f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.(2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判定函数的奇偶性.,跟踪演练1 (1)下列函数为奇函数的是( ),解析 A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.,
5、C,(2)若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数,则g(x)ax3bx2cx是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 解析 f(x)ax2bxc是偶函数, f(x)f(x),得b0.g(x)ax3cx. g(x)a(x) 3c(x)g(x), g(x)为奇函数.,A,要点二 利用函数奇偶性研究函数的图象 例2 已知奇函数f(x)的定义域为5,5,且在区间0,5上的图象如下图所示,则使函数值y0的x的取值集合为_.,解析 因为函数f(x)是奇函数,所以yf(x)在5,5上的图象关于原点对称.由yf(x)在0,5上的图象,可知它在5,0上的图象,如图所示.由图象
6、知,使函数值y0的x的取值集合为(2,0)(2,5).,(2,0)(2,5),规律方法 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象,根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时,可以先从点的对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(x0,y0),关于y轴的对称点为(x0,y0).,跟踪演练2 设偶函数f(x)的定义域为5,5,若当x0,5时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集是_. 解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解.,x|5x2,或2x5,当x0,5时,f(x)0的解为2x5, 所以当
7、x5,0时,f(x)0的解为5x2. f(x)0的解是5x2或2x5.,要点三 利用函数的奇偶性求解析式 例3 已知函数f(x)(xR)是奇函数,且当x0时,f(x)2x1,求函数f(x)的解析式. 解 当x0,x0, f(x)2(x)12x1. 又f(x)是奇函数,f(x)f(x), f(x)2x1.又f(x)(xR)是奇函数, f(0)f(0),即f(0)0.,规律方法 1.本题易忽视定义域为R的条件,漏掉x0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)0. 2.利用奇偶性求解析式的思路:(1)在待求解析式的区间内设x,则x在已知解析式的区间内;(2)利用已知区间的解析式
8、进行代入;(3)利用f(x)的奇偶性,求待求区间上的解析式.,跟踪演练3 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,x0时,f(x)x22x,则函数f(x)在R上的解析式是( ) A.f(x)x(x2) B.f(x)x(|x|2) C.f(x)|x|(x2) D.f(x)|x|(|x|2) 解析 f(x)在R上是偶函数,且x0时,f(x)x22x, 当x0时,x0,f(x)(x)22xx22x, 则f(x)f(x)x22xx(x2). 又当x0时,f(x)x22xx(x2), 因此f(x)|x|(|x|2).,D,A.2 B.0 C.1 D.2,f(x)为奇函数,f(1)f(1)2.,A,1
9、.函数f(x)x2(x0)的奇偶性为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析 函数f(x)x2(x0)的定义域为(,0),不关于原点对称,函数f(x)x2(x0)为非奇非偶函数.,D,1,2,3,4,5,2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.yx1 B.yx3 C.y D.yx|x| 解析 由函数的奇偶性排除A, 由函数的单调性排除B、C, 由yx|x|的图象可知当x0时此函数为增函数,又该函数为奇函数.,D,1,2,3,4,5,3.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x1,则当x0时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)
10、x1 B.f(x)x1 C.f(x)x1 D.f(x)x1 解析 设x0,则x0.f(x)x1,又函数f(x)是奇函数.f(x)f(x)x1,f(x)x1(x0).,B,1,2,3,4,5,4.已知函数yf(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)0的所有实根之和是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,因此,四个交点中,有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上,所以四个实根的和为0.,A,1,2,3,4,5,5.若f(x)(xa)(x4)为偶函数,则实数a_. 解析 由f(x)(xa)(x4) 得f(x)x2(a4)x4a,若f(x)为偶函数, 则a40,即a4.,5,1,2,3,4,4,课堂小结 1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件,f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式.,3.(1)若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.,