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1、陕西理工学院毕业论文第 1 页共 8 页模糊逻辑命题公式集合的结构特征李 增 涛（陕理工数学系数学与应用数学专业 2003级 4班,陕西 汉中 723000）指导老师:王文良摘要 本文作者进一步分析模糊逻辑命题公式集合的微观结构,即具体什么是其结构上的单位元,l 理想,零元,指出它还构成 S-格半群,且含 n 个模糊命题变元的模糊逻辑命题公式构成的集合 关于其上定义的M等值关系构成的商集: ,(),01nFFWCGMxGFx在给定关系和运算下是构成双格半群.并且指出 元函数集 在给定的:(),Lff关系 和取上确界运算 构成的格半群 与 同构.222;,;,)W关键词 单位元; 理想; 格半群
2、; 格半群; 数 ;真假度;双格半群lSTD1 引言通常模糊集合按如下的方式来定义:所谓论域 上的模糊集合 ,是由隶属度函数 赋予特XA()Ax性的集合,这里 是从 到实数集合上的闭区间 的函数 而 表示()AxX0,1():0,1)xX隶属于模糊集合 的程度,称为隶属度函数.通常的数理逻辑是一种二值逻辑,但是作为建立()xX人工大脑模型的新的倾向,已经转向采用连续状态逻辑元件的方向,这表明逻辑学的研究也必须适应这一趋向,从通常的二值特征函数向具有连续值的特征函数发展.例如今天的天气太热.这一陈述句是否正确在很大程度上是具有主观臆断性的,不能够简单的用是或非来加以判断,数学家正是应用了模糊集的
3、概念把研究主观地决定真（取 1）与假（取 0）之间值（连续的或离散的）那种命题的模糊逻辑规范化,进而建立了起模糊逻辑命题公式概念. 数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和规律的一个数学分支,逻辑命题公式是将人的大脑思维符号化的产物、是数理逻辑研究的基本对像.动态模糊性问题作为当今学术界普遍关注的一个热门话题,体现在数理逻辑当中,就是引入了动态模糊逻辑命题的概念,从而产生了模糊逻辑的研究. 及多值逻辑与动态模糊逻辑研究.一个具有动态模糊性的陈述句, 一般没有绝对的真假,只能问它的真假程度如何.在逻辑系统中,由于命题的运算实际上就是真值的运算,为了方便,刻画一个模糊命题真值的量可以看成是在闭区
4、间上取值的变量,称为模糊命题的真假度,其度量一个模糊命题的真假度一般用动态模糊01真假度 来表示,常用 ,等来表示,通常简称为 DF数(01)a ,abc（ Dynamic Fuzzy number） . 其中的集合 表示动态模糊命题真值的趋向区间,即就是01说任一模糊命题的真假度在 这一区间内的趋向.例如 表明某命题变量的隶属度0, (0.8,)为 ,这里实数 有两种趋向,它可以向0这个方向发展,也可以向1这个方向发展.0.7.8和 是满足 的任意 DF数, 是满足,ab()a)b(,),(,)1,ab(,)p的 DF数,则称 为区间布尔量 (Interval Boolean variabl
5、e),其意义(,)p 表示命题变量的真值落在 之间; 称为 DF区间布尔量,表示其真值在(,和 ,/,p之间的可能性用 来刻画. ,)p对于模糊命题变量 x,y,设其 DF数分别为 ,则可以定义其逻辑运算如下:,(01)xyab1) 逻辑和: ;ma(xyb2) 逻辑积: ;in,)3) 否 定: .1陕西理工学院毕业论文第 2 页共 8 页给出一组模糊命题变量为 ,则 的真值构成实数集合中的闭区间 上的隶属度(1)ixn ix 0,1函数,取 ,于是在如上逻辑运算的基础上可以引入模糊命题公式的概念 1,即1(,)(0)nnx称 为模糊命题公式.在不至于引起混淆的情况下,一般表示为 F,即)F
6、F: , .,n00,1(),)nxxF设模糊命题公式 的所有命题真假度构成的集合为 ,则1(,)x 于是, 的 DF数（即动态模糊真假度）满足0,1 (,)0(,1)n(,)0,)x. 表示 DF数为假, 表示 DF数为真,当 的值越趋向于 ,说明它的为真的,)1(,)nx 1程度越大,反之当 的值越趋向于 时,它的为假的程度就越大 .1(nFx (0)孟强在动态模糊逻辑命题的序结构一文中设 为关于动态模糊命题变量 的一M(,)ixn切模糊命题公式 构成的集合,证明了 关于如下二元关系 构成一个格,1(),)nx ,0,1()nFGxFxG并在此关系的基础上定义其逻辑运算如前:逻辑和: ;逻
7、辑积: mayyb mi(,)xyxyab否定: 逻辑和与逻辑积的基础上指出 构成一个广义格半群,又给出了一个逆序对合1x()；对应 : ,0,1()nMxx进一步证明了 是一个双格半群,且是一个 格半群,同时指出 是其对偶格()M； F(,)M；半群.本文试在孟强的论文动态模糊逻辑命题的序结构一文的基础上进一步研究 的微观结构,即来具体分析单位元,理想,零元,并指出含 个模糊命题变元的模糊逻辑命题公式集合构成的集合n还是一个 格半群,进一步指出 关于其上定义的等值关系 ,（ 与 等值关系 表示:S RGR, ）这显然是等价关系,于是按这个等价关系构成的商集:,FG01()nxFxG,(),0
8、1nFFWCMxGFMx利用 上的逻辑和与逻辑积即 运算在 上定义运算 ,同时给出 上的一个序关M,WW系 分别如下:,;FGFGFGFC当且仅当 并给出其上的逆合对应 为: .指出在给定这样关系和运算下 是构成双格半群的.C(;,)元函数集 上的关系与运算规定如下:n0,1()0,1nLfxfx规定 （即大小关系）并规定取上确界 为其上的运22,()()ngg算 .于是 是显然构成格半群的.并且指出 元函数集 在2(;)n:0,1()0,1nLfxfx给定关系 和取上确界运算 构成构成的格半群 与 同构.这对于在进一步研2 22(;,)(;,)W究分子格理论,拓扑半群理论和序半群理论,以及扰
9、动模糊命题逻辑的代数结构,还是在实际应用方面都具有一定价值.数理逻辑是应用数学方法来研究推理的形式结构和规律的一个数学分支,逻辑命题公式是将人的大脑思维符号化的产物,是数理逻辑研究的基本对象.动态模糊性问题作为当今学术界普遍关注的一个热门话题体现在数理逻辑当中,就是引入了动态模糊逻辑命题的概念,从而产生了模糊逻辑的研究. 这一新型学科的成熟和发展必将推动计算机科学,人工智能,语言学等许多学科的长足发展,具有十分重要的价值.记 表示矛盾式, 表示恒真式.012 预备知识陕西理工学院毕业论文第 3 页共 8 页定义 2.12 集合 上的二元关系 称为 上的偏序关系(portial ordering
10、),如果A A1) ;,a2) ;bbab且3) , .cc这时,称 为偏序集.()A定义 2.23 设集合 是 上的二元运算,如果,:SuS,xyzS()(,)uxyzxuyz则称 是半群 ( ).,)semigrop定义 2.34 设 是半群 ,如果 ,且 ,则称 为具有零元的半群,( 2s0,0()sxs称为半群 的零元.0s定义 2.44 设 是偏序集 ,若 ,存在 ,则称 为格（Lup,inf,abLup,inf,abL）,这时 简记为 , 简记为 .Laticeup,abif定义 2.54 设 是格,如果 均有 成立,则称 是 的零元;如果0,x0x0均有 成立,则称 是 的单位元
11、.1,x1x1L定义 2.64 设格 是有零元和单位元 , 称为 的补元,如果 ,（ 表L()y()L,1yx0示零元, 表示单位元）.定义 2.74 称 为 半格序半群,如果:(;,)s(1) 是 半格;2) 是半群;(,)3) .,abcsacbc若 是格,则称 是广义格序半群,简称广义格半群( ).()s;)s genral Ltice Smigroup定义 2.85 用 表示格半群 中的最小元,最大元,单位元.如果 时记为 记01e()L； 0=,1e为 . 的格半群 称为弱 格半群,如果还存在 ,则称 格半群; 的格半群1e0L(,)S1eL称为弱 格半群,如果还存在 ,则称 格半群
12、 .(,)T0T定义 2.95 具有逆合对应 的弱 格半群,弱 格半群均称为 格半群.ST定义 2.104 格 的非空子集 称为 的 理想,（ ）,如果LJLll-idea1） ;,abJ2) .xa定义 2.116 称 是双格半群,如果: (;)s1） 是半群;2） 是格;(,)3） （即 对 运算具有保序性）;, ,xyzsyxzyxzy4）存在映射 是逆序对合对应,即 .:,sxyx定义 2.124 广义格半群 中 如果还是一个具有逆合对应的完全分配格,则称(;)(s是 格半群.(;,)sF陕西理工学院毕业论文第 4 页共 8 页定义 2.137 设 为 公式 （ ）,若对 中的所有变量
13、的一切pDFLynamic FuzLogic fratinp赋值有 ,则称 公式 为 恒真公式.特别当 时,称(),()0,1()FpaDp(,)()0.5)F公式 为 恒真公式;若对 中所含变量的一切赋值都有 成立,则称公式 为 恒05.)pD假公式.定义 2.148 设 是集合 中的一个等价关系.集合 中的两个点 ,如果满足条件: ,则RXXxyxRy称 与 是 等价的,或简称为等价的;对于每一个 ,集合 的子集 称为 的xy xX等价类或等价类,常记作 的一个代表元素;集族 称为集合 相对于等价关系 而RRxR X言的商集 .X定义 2.154 设 是具有逆合对应 的格, 是半群, 规定
14、: 则称(,)s()s,xys()xy为 运算在 下的对偶运算.定义 2.169 设 是格半群,双射 称为 到 的同构映射.称12(;,)(;)s12:12与 同构,如果 有:1(;,)s2(;)s1xy1) 当且仅当 ;2()xy2) .1()定义 2.17 上的关系 如下定义:MR(,),0,1()nFGMxFxG称模糊逻辑命题公式的等值关系.定义 2.184 格 上的映射 称为 上的逆序对合对应或简称逆合对应,如果L:L） （对合对应）;,a) （逆合对应）.bba3 与 的结构性质MW定理 3.1 设 为关于 命题变量 的一切模糊命题公式 构成的DFix(=1,2n) 1nF(x) =,x)集合,则 关于如下 二元关系 构成一个格:., 0,()nGMxxG证明 首先证明 是一个偏序集.()1) 自反性: ,0,1().nFxFF显 然 有 成 立 ， 故 2) 反对称: , ()01nxxx， 且;()FxG3) 传递性: , , 0,1()nGHMGHG且,故 是一个偏序集. ()H01()nxFxF()根据逻辑和的定义, ,故,M01max(),()nFx. 设,FG(),(), 01,nx,故推出 ,即 中 的逻辑和恰()max(),H
