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1、极限是微积分的基石一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。无限趋近于常数A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点到A的距离可以任意小。二、新课讲授1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数无限增大时，无穷
2、数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，记作 注：上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。“”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。有时也记作当时，A引例中的两个数列的极限可分别表示为_，_思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， ；（2），；（3）2，2，2，2，；（4）0.1，0.01，0.001，；（5）1,1，1，； 注：几个重要极限： （1） （2）（C是常数） （3）无穷等比数列（）的极限是0，即 ：2、当时函数的极限Oyx （1） 画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大
3、时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作： 一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时， （2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作：一般地，当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时， （3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时
4、，函数的极限是0，记作一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：也可以记作，当时，特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即 例2：判断下列函数的极限： （1） （2） （3） （4）三、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1， ；（2）7，7，7，7，； （3）； （4）2，4，6，8，2n，； （5）0.1，0.01，0.001，； （6）0，； （7），； （8），； （9）2,0，2，,， 2、判断下列函数的极限： （1）
5、 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，这些法则对于的情况仍然适用.三 典例剖析例1 求例2 求例3 求分析：当时，分母
6、的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限.例4 求分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。总结：例5 求分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。三、练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）； （2） （3）； （4） （5） （6） （7） （8）一、复习引入：函数极限的运算法则：如果则，（B）二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似：如果
7、那么推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若，有极限，则：特别地，如果C是常数，那么二.例题： 例1.已知，求例2.求下列极限：（1）；（2）例3.求下列有限：（1）（2）分析：（1）（2）当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。例4.求下列极限：（1） （2）说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。 当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。3.两个
8、（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。练习与作业：1.已知，求下列极限（1）；（2）3.求下列极限（1）；（2）；（3）；（4）。4.求下列极限: (1). (2).(3). （4）（5） （6）.已知求无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n项和公式是_2、设AB是长为1的一条线段，等分AB得到分点A1，再等分线段A1B得到分点A2，如此无限继续下去，线段AA1，A1A2，An1An，的长度构成数列 可以看到，随着分点的增多，点A
9、n越来越接近点B，由此可以猜想，当n无穷大时，AA1+A1A2+ An1An 的极限是_.下面来验证猜想的正确性，并加以推广1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和S为 例1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003， 各项的和.例2、将无限循环小数化为分数.练习1、求下列无穷等比数列各项的和：（1） （2）2、化循环小数为分数：（1）（2） （3）3、如图，等边三角形ABC的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点
10、得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n等分，同样作出n1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/21.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？一般地，设物体的运动规律是ss（t），则物体在t到（t）这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题
11、2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.3.边际成本问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q），当产量为时，产量变化
12、对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个
13、常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在
