《二次函数压轴(菱形)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数压轴(菱形)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数压轴之菱形问题1.（2014遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标解：（1）二次函数y=x2+bx+c
2、的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），解得 ，y=x2x4C（0，4）（2）存在如图1，过点Q作QDOA于D，此时QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0）AB=4，OA=3，OC=4，AC=5，AQ=4QDOC，QD=，AD=作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=ADAE=x，在RtEDQ中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，OAAE=3=，E（，0）以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当AE=AQ=4时，OAAE=34=1，E（
3、1，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（，）理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形，FQOC，AF=，FQ=，Q（3，），DQ=AP=t，D（3t，），D在二次函数y=x2x4上，=（3t）2（3t）4，t=，或t=0（与A重合，舍去），D（，）2.（2015淄博）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：x2112 4 5y15 043512设抛物线m1的
4、顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）（2） 将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=3时，y2=12（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由解：（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，所以y2=（x1）24，当x=3时，y2=（x+1）
5、24=（31）24=12故答案为（1，4），（0，3），12；（3）存在当y1=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，则A（1，0），B（0，3），抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，CKAM，CK=AM，四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC=，则CK=，当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（，3）3.（2013郴州压轴题）如图，在直角梯形AOCB中，ABOC，AOC=90，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系抛物线顶点为A，且经过点C点P在
6、线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QDOC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PBOD？解：（1）A（0，2）为抛物线的顶点，设y=ax2+2，点C（3，0），在抛物线上，9a+2=0，解得：a=，抛物线为；y=x2+2；（2）如果四边形OEAE是菱形，则AO与EE互相垂直平分，EE经过AO的中点，点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得：1=x2+2，解得：x=，点E在第一象
7、限，点E为（，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，BC的解析式为：y=x+3，将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=x，由，得：，Q点坐标为：（，0），当Q点坐标为（，0）时，四边形OEAE是菱形；（3）法一：设t为m秒时，PBDO，又QDy轴，则有APB=AOE=ODQ，又BAP=DQO，则有APBQDO，=，由题意得：AB=1，AP=2m，QO=33m，又点D在直线y=x+3上，DQ=3m，因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，当t=秒时，PBOD法二：作BHOC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OCOH=2，BH=HC，BCH=CBH=45，易知DQ=CQ，设t为m秒时PBOE，则ABPQOD，=，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=33m，=，解得m=，经检验m=是方程的解，当t为秒时，PBOD
